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求微分方程 (y^4-3x²)dy+xydx=0的通解解
∵ P=xy; Q=y^4-3x²；∂P/∂y=x；∂Q/∂x=-6x；∂P/∂y≠∂Q/∂x；∴不是全微分方程。
但(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/xy)(x+6x)=7/y=H(y)是y的函数，因此有积分因子：
μ=e^[-∫H(y)dy]=e^[-∫(7/y)dy]=e^(-7lny)=y^(-7)；
用μ=y^(-7)乘原方程的两边得：[y^(-3)-3x²y^(-7)]dy+x[y^(-6)]dx=0........①
此时p=xy^(-6)；Q=y^(-3)-3x²y^(-7)；∂P/∂y=-6xy^(-7)=∂Q/∂x;
故①是全微分方程；于是有通解：
u(x,y)=∫﹤0,y﹥y^(-3)dy+∫﹤0,x﹥x[y^(-6)]dx=-1/(2y²)+x²/(2y^6)=c
∵ P=xy; Q=y^4-3x²；∂P/∂y=x；∂Q/∂x=-6x；∂P/∂y≠∂Q/∂x；∴不是全微分方程。
但(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/xy)(x+6x)=7/y=H(y)是y的函数，因此有积分因子：
μ=e^[-∫H(y)dy]=e^[-∫(7/y)dy]=e^(-7lny)=y^(-7)；
用μ=y^(-7)乘原方程的两边得：[y^(-3)-3x²y^(-7)]dy+x[y^(-6)]dx=0........①
此时p=xy^(-6)；Q=y^(-3)-3x²y^(-7)；∂P/∂y=-6xy^(-7)=∂Q/∂x;
故①是全微分方程；于是有通解：
u(x,y)=∫﹤0,y﹥y^(-3)dy+∫﹤0,x﹥x[y^(-6)]dx=-1/(2y²)+x²/(2y^6)=c
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