Question

TN-15的两道题，求解答

Answer 1

（1）设数列{an}的公差为d，由题意得a1+d＝2 5a1+10d＝15 ，解得a1＝1 d＝1 ， ∴an=n， ∴Sn＝n2+n 2 ．（2）由题意得bn+1 bn ＝1 2 ?n+1 n ，累乘得bn＝bn bn?1 ?bn?1 bn?2 ?…?b2 b1 ?b1＝(1 2 )n(n n?1 ×n?1 n?2 ×…×2 1 )＝n 2n ．由题意得Tn＝1 2 +2 22 +3 23 +…+n 2n ① 1 2 Tn＝1 22 +2 23 +3 24 +…+n?1 2n +n 2n+1 ② ②-①得：1 2 Tn＝1 2 +1 4 +1 8 +…+1 2n ?n 2n+1 ＝1 2 (1?1 2n ) 1?1 2 ?n 2n+1 ＝1??n+2 2n+1 ∴Tn＝2?n+2 2n （3）由上面可得2Sn(2?Tn) n+2 ＝n2+n 2n ，令f(n)＝n2+n 2n ，则f（1）=1，f(2)＝3 2 ，f(3)＝3 2 ，f(4)＝5 4 ，f(5)＝15 16 ．下面研究数列f(n)＝n2+n 2n 的单调性， ∵f(n+1)?f(n)＝(n+1)2+n+1 2n+1 ?n2+n 2n ＝(n+1)(2?n) 2n+1 ， ∴n≥3时，f（n+1）-f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减． ∵集合M的子集个数为16， ∴M中的元素个数为4， ∴不等式n2+n 2n ≥λ，n∈N+解的个数为4， ∴15 16 ＜λ≤1