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求微分方程 y²+x²(dy/dx)=xy(dy/dx)的通解
解： (xy-x²)(dy/dx)=y²； dy/dx=y²/(xy-x²)=(y/x)²/[(y/x)-1];
即dy=[u²/(u-1)]dx=[u+1+1/(u-1)]dx.........①； 其中 u=y/x，即y=ux...........②；
对②取微分得：dy=udx+xdu...........③
将③代入①式得：udx+xdu=[u+1+1/(u-1)]dx
化简得：xdu=[1+1/(u-1)]dx=[u/(u-1)]dx
分离变量得：[(u-1)/u]du=dx/x；积分之得：∫[(u-1)/u]du=∫[1-(1/u)]du=∫dx/x;
故得： u-lnu=lnx+lnc=lncx; 即有 cx=e^(u-lnu)=(e^u)/u；即cux=e^u; ∴ u=ln(cux);
将u=y/x代即得通解为: y/x=ln(cy)；即通解为：y=xln(cy).
解： (xy-x²)(dy/dx)=y²； dy/dx=y²/(xy-x²)=(y/x)²/[(y/x)-1];
即dy=[u²/(u-1)]dx=[u+1+1/(u-1)]dx.........①； 其中 u=y/x，即y=ux...........②；
对②取微分得：dy=udx+xdu...........③
将③代入①式得：udx+xdu=[u+1+1/(u-1)]dx
化简得：xdu=[1+1/(u-1)]dx=[u/(u-1)]dx
分离变量得：[(u-1)/u]du=dx/x；积分之得：∫[(u-1)/u]du=∫[1-(1/u)]du=∫dx/x;
故得： u-lnu=lnx+lnc=lncx; 即有 cx=e^(u-lnu)=(e^u)/u；即cux=e^u; ∴ u=ln(cux);
将u=y/x代即得通解为: y/x=ln(cy)；即通解为：y=xln(cy).
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