Question

问一个关于积分公式的问题~~~理解上很困难,高分求解~

b b
lim∑ f(x)×△X = ∫f(x)dx when △x→ 0
x=a a
为什么左边等于右边?一直无法理解...求各位数学达人给出解释....希望能从理论角度和运算角度给与解答.
额,百度有点问题....两个a两个b分别在∑和∫上下。。
△x小写

谢谢一楼,你说的我理解,我不能理解的是为什么前面一个公式等于后面一个公式

我当然知道这是定义,但这个定义肯定有推导过程在里面,我想知道是如何得出这个定义的...我知道这个问题很难,所以,再加100分,希望得到个满意的答案...

那个 o飘香剑雨o 骂人干吗,我又没惹你....不回答就走,留在这碍眼么?

额,同样的问题是,为什么说定积分就是函数f(x) 在(a, b)中与y=0,x=a, x=b 所围成的面积,这个图形成为曲边梯形? 定积分为什么是这个函数图形的面积?

谢谢大家了,我自己找到了,真的好难....至少现在我理解不了...地址在这边
http://baike.baidu.com/view/1290948.htm
供各位参考...至于那200分...我也不知道怎么处理....

Answer 1

其实问题很简单,被大家和楼主复杂化了.
最初人们是遇到了这样一类问题,几何上求取边梯形的面积,物理上求变速度下的位移(速度曲线已知,位移就是线下面积),等等这样一类问题,解决的办法就是分割,近似,求和,取极限,因为很多问题都有这样的共同特征,解决方法也都是这四个步骤,所以给出的一个定义,那就是定积分的定义,把这样一类问题定义为定积分,这类问题的结果就是求得的定积分的结果.

根据你的补充来看.
1.你把这个问题的顺序搞反了,虽然我们开始研究的时候是从曲边梯形的面积开始的,最后抽象得到的是一类问题的特征,然后给出定义,你学习的时候应该抛开先面积后定义的做法,应该是先学定义,然后理解几何意义,物理意义等等

2.定义本身是一个数学抽象.所说的过程那就是研究这类问题的过程了.就好比你面前有一个苹果一个橙子一个梨,当你在研究他们数量的时候你发现他们都是一个,然后有了数字1的定义,当你研究他们是什么的时候,你有了水果的定义等等吧,定积分的定义是来源于解决曲边梯形面积的分割,近似,求和,取极限这四部过程,在定义中已经含有了.

3.定积分是从曲边梯形面积中抽象出来的数学定义,它的几何意义当然就是曲边梯形的面积.

4.至于你说你自己找到了.其实不然.虽然给出了定积分定义,但是解决这一类问题的时候不可能用定义来求解.你找的牛顿莱布尼茨公式是求解定积分的方法,同时也是将积分学与微分学联系起来的公式.它给我们提供一种用原函数求解定积分的方法,而不是用定义.

楼主还有不懂的可以百度Hi我

Answer 2

先作f(x)的曲线，在x轴上取a,b，分别过它们作垂直于x轴的垂线，这样会形成一个大曲边梯形。把[a,b]分成n等份，则就有一个数列：a,x1,x2,x3...x(n-1),b
分别过这些x作x轴的垂线，
那么，就把大曲梯分成无数个小曲梯，那么大面积就是无限个小面积相加；
每个小的宽度是（b-a）/n=x(i)-x(i-1)记为dx或者△x，读法含义都差不多，
当n很大的时候，每个小曲梯就近似于一个长条形，宽△x，长就是左边或右边函数值（此时他们差不多即f(xi）约等于f(x(i-1))，
比如第一个曲梯面积就是f(x1)△x，第二个就是f(x2)△x。。。
全加起来就是∑ f(xi)△X 其中i从1到n,(xn=b),这样也可以记为∑ f(x)△X
其中x从a到b
前面加lim，取的是极限，其实是对n取极限，即n →∞，也可理解为对△X取极限，即△x→ 0
加上lim以后就是极限，就可以忽略曲梯与长条形之间的面积差，也就是成了“精确”的面积，也就是右边的积分形式。积分形式是面积的另一种记号。是真正意义上的精确面积。
我能解释的就这么多了，其实公式的理解是比较难解释的。希望对你有点帮助。

Answer 3

这个是面积的积分公式的推导啊,要理解它的几何含义：
假设一条曲线与x,y轴围城一个曲边梯形，求它的面积。
在x轴上取a,b，分别过它们作垂直于x轴的垂线，这样会形成一个小曲边梯形面积。那么，大曲梯里包含无数个小曲梯，那么大面积就是无限个小面积相加，这不就是可以用极限来运算了吗？！然后我们再假设a和b之间的距离无限小，即△X→ 0

Answer 4

牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式

就是把定积分和不定积分联系起来的公式。不规则图形面积可以认为是由若干小平行四边形或长方形面积相加得到的，当这个切分非常小的时候，就可以认为是无穷小，这样就可以认为是微积分了。这样定积分就和不定积分联系在了一起。

Answer 5

等式左边是很多项的和，是当数字的，等式右边是连续的。
当△x→ 0时，相当于右边这个连续的线是按点被分成了无数段再加起来，其结果与连续的求积分是一样的。