Question

高中数学必修四 三角恒等变换的一道题！20分！

求cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7的值 （π是派）

谢谢各位数学帝了！

Answer 1

cos2π/7+cos6π/7=2cos4π/7*cos2π/7
cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7=2cos4π/7*cos2π/7+cos4π/7=cos4π/7(1+2cos2π/7)
因为1+2cos2π/7，我们无法前进，我们要化成次数相等的齐次式：
cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7=2cos3π/7*cos1π/7+2[cos3π/7]-1=2cos3π/7(cos1π/7+cos3π/7)-1=4cos1π/7cos2π/7cos3π/7-1
4cos1π/7cos2π/7cos3π/7我们就有办法了
4cos1π/7cos2π/7cos3π/7=(sin1π/7*cos1π/7*cos2π/7*cos3π/7)/sin1π/7
用2sinA*cosA=sin2A 化(sin1π/7*cos1π/7*cos2π/7*cos3π/7)/sin1π/7=1/8
代入cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7=4cos1π/7cos2π/7cos3π/7-1=-1/2

Answer 2

cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7
=(sinπ/7cos2π/7+sinπ/7cos4π/7+sinπ/7cos6π/7)/sinπ/7
=[(sin3π/7-sinπ/7)/2+(sin5π/7-sin3π/7)/2+(sinπ-cos5π/7)/2]/sinπ/7
=[-(sinπ/7)/2]/sinπ/7
=-1/2