Question

高数一阶线性微分方程问题

求一曲线的方程，这曲线通过远点，并且它在点（x，y）处的切线斜率等于2x+y。

同济六版 P315 3题

Answer 1

根据题意
dy/dx=2x+y
即dy/dx-y=2x
dy/dx-y=0的通解：
dy/dx=y
dy/y=dx两边积分得
∫dy/y=∫dx
ln|y|=x
y=Ce^x
再求dy/dx-y=2x的通解
设C=μ（x）则y=μe^x代入dy/dx-y=2x
得μ’e^x+μe^x-μe^x=2x
整理得μ’=2xe^(-x)
μ=∫2xe^(-x)dx=-2x·e^（-x）-∫2·（-e^(-x)）dx+C==-2x·e^（-x）-2e^(-x)+C
代入y=μe^x得
y=-2x-2+Ce^x

由于此曲线过原点即-2+C=0 C=2
所以y=2e^x-2x-2