Question

高数问题 关于格林公式 (高手进）

第二型曲线积分中令p=-（x+y）/(x2+Y2)
Q=（x-y）/(x2+y2) 那可求Pdx+Qdy的原函数u（x，y） 在直角坐标中，令A=（0，1）B=（0，-1）则可找一个不包含原点但包含A，B的单连通区域，那按照定理积分值（从a积到b）就为出末值得差，结果为零。但真值为3.1415926....
为什么？？
请真正的高手解答
在选定的单连通区域中能找到函数u（x，y），使Pdx+Qdy为其全微分，那此第二型曲线积分的值不就只与初末值有关吗？（北大版高数下册84页） 不就与路径无关了嘛

Answer 1

关键是这个第二型曲线积分中的积分曲线L是什么，这是需要考虑的，求出的值是和L有关系的。

估计L应该是分段光滑、不经过原点的连续封闭曲线（且无重点，取逆时针方向？），是吗？

看一下同济5版《高等数学》下册P146.例4，那就是一种情况下得0，另一种情况下得2*3.14的例子，应该是和你的问题一样的。

刚才看到问题补充，回答如下：

①我原先的回答是有效的。
②你的注意集中在了“可找一个不包含原点但包含A，B的单连通区域，那就结果为零”还有“在选定的单连通区域中能找到函数u（x，y），那此第二型曲线积分的值不就路径无关了嘛”。
这里有个问题：“可找一个”以及“在选定的”都有一层含义，即“存在特定的(区域)”。那么，原题中的那个“第二型曲线积分中的积分曲线L是什么”？从而，L所围的区域是不是在你所找的那个区域中呢？如果是，那就象你说的，结果为零；如果不是，当然不能确定结果为零啦。
③我们的讨论一直是从概念的方面进行的，我手边没有北大版高数，但可以肯定，哪一本高数讲的都是一个理，如果有具体题目，知道“这个第二型曲线积分中的积分曲线L是什么”，可能更容易说清楚。
④只好再从概念的方面说，你的注意集中在了几个等价条件上，但还要注意几个等价条件成立的大前提条件啊，就是，“G是单连通区域，积分曲线L在G内，P、Q在G内有一阶连续偏导数”。再看看你提到的定理必是这样的。

Answer 2

晕哦 与路径无关的格林公式是有区域之分的
Pdx+Qdy=0才表示与路径无关
虽然说单联通区域都能应用格林公式 但方向性肯定不能少
还有 你那个“第二型曲线积分的值不就只与初末值有关吗”我觉得是你自己的主观臆断

Answer 3

那就结果为零”还有“在选定的单连通区域中能找到函数u（x，y）：“可找一个”以及“在选定的”都有一层含义，即“存在特定的(区域)”。那么，原题中的那个“第二型曲线积分中的积分曲线L是什么”？从而关键是这个第二型曲线积分中的积分曲线L是什么，哪一本高数讲的都是一个理，如果有具体题目，知道“这个第二型曲线积分中的积分曲线L是什么”，可能更容易说清楚，P。
④只好再从概念的方面说，你的注意集中在了几个等价条件上，“G是单连通区域，积分曲线L在G内，但还要注意几个等价条件成立的大前提条件啊，就是：
①我原先的回答是有效的，是吗？
看一下同济5版《高等数学》下册P146.例4，求出的值是和L有关系的。
刚才看到问题补充，回答如下，但可以肯定。
③我们的讨论一直是从概念的方面进行的，我手边没有北大版高数，那此第二型曲线积分的值不就路径无关了嘛”。
这里有个问题，当然不能确定结果为零啦，B的单连通区域，结果为零；如果不是.14的例子，L所围的区域是不是在你所找的那个区域中呢？如果是，那就象你说的。
②你的注意集中在了“可找一个不包含原点但包含A，应该是和你的问题一样的，那就是一种情况下得0，另一种情况下得2*3？）。
估计L应该是分段光滑、不经过原点的连续封闭曲线（且无重点，取逆时针方向，这是需要考虑的、Q在G内有一阶连续偏导数”