Question

关于数列极限定义的疑问

设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε （不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|Xn-a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a，即为Xn→a(n→∞)。 其中的大于号能不能变成大于等于，小于号能不能变成小于等于啊，这个搞不懂,能不能详细解答啊
谢谢大家的回答~呵呵，我自己又想了想，不知对不？ε是可以取任意小的数，对于存在极限A的数列Xn，当n>=N时，不等式|Xn-a|<=ε 是可能成立的，但是|Xn-a|=ε这种情况是不一定发生的，包括对于函数f(x),|f(x)-a|=ε这种情况也是不一定发生的， 因为ε是可以取任何数的，Xn和f(x)却不一定能取任何数，因为它不一定是连续的，但是只要|Xn-a|<ε这种情况发生了，我们能求出相应使该式成立的N，那么就说数列Xn的极限是a

Answer 1

大家一起来探讨吧，我认为不能：
不等式 |Xn-a|＜ε 要是写成 0≤|Xn-a|＜ε 就好理解了吧，取 ε 的目的是为了让 Xn-a 的值足够接近于0，即 Xn 足够接近于 a ，才能说明其以 a 为极限。而 |Xn-a|=ε 却是不等式中距离0最远的，这与足够接近 a 的本意是违背的。
而且看看极限定义的几何意义便知：
任意给定邻域 N（a，ε），则必存在 N ，使得 n>N 的一切 Xn 都落在 N（a,≤ε）之内。
而邻域写成区间的形式为（a-ε,a+ε) ,为开区间，即不包括两端点。所以|Xn-a|＜ε不能写成|Xn-a|≤ε。
以上为我的观点，供参考，不过最好亲自问问数学老师吧。

对于问题补充的回答补充：
ε是可取任意小，但一旦取定一个值之后，Xn-a 就应比它还要小，如何证明两数够接近？任取你能想象到的小数，但这两数之差比你想得数还要小，才能说明够接近。这就是数学语言。你看看所有有关极限的证明题，都是＜，没有≤。其实这也就是一念之差的事，再想想吧。刚接触极限定义么？

再补充：
为何不能等呢？
数列2，2，2，2，2，2，2......的极限是多少呢？你说它没极限么？

终极补充：
除了这个等号外，对极限定义还有费解之处么？没有的话暂时就不想了，极限定义是高等数学里第一个遇到的也是最大的难啃骨头，随着时间的推移，理解的加深，自然就会明白。不要着急啦o(∩_∩)o...

“等号情结”实在不行就放一放吧，数学知识确确实实应该深挖、挖透。但如若遇到这种情况，为了继续学习只能放一放了。有精力还不如多看看高数定理的证明，类似极限的数学思想通篇贯穿其中，正好也扩展一下思路，老在一个地方纠结会影响复习进度以及积极性的。

我请教了一位南开大学数学系的哥儿们，他倾向于小于等于，但同时表示还是应该模糊一些好。那就模糊一些吧，考试也不考。

Answer 2

都可以。
n>N和n>=N在这里时没区别的,只要N再取大点>=就变成>了……
| Xn-a|<ε中改为<=时，对于任意的正数ε，我们只要取正数ε2<ε,则当{an}收敛时照样有N2，使得|Xn-a|<=ε2，此时，我们只要取N>N2,则对任意的n>N，
|Xn-a|<=ε2<ε,常数a是数列的极限。

Answer 3

不能，极限就是无限逼近的意思，不可能相等