Question

求通解，详细过程，谢谢

求通解，详细过程，谢谢x''+x=1+sint

Answer 1

求微分方程 x''+x=1+sint的通解
解：先求齐次方程 x''+x=0的通解：其特征方程 r²+1=0的根：r₁=-i；r₂=i；
故齐次方程的通解为：x=cost+sint；
x''+x=1的特解x₁*=1；
设x''+x=sint............①的特解为：x₂*=atcost；则x₂*'=acost-atsint；
x₂*''=-asint-asint-atcost=-2asint-atcost；
代入①式得：-2asint-atcost+atcost=-2asint=sint，故a=-1/2；
于是得①的特解为：x₂*=-(1/2)tcost；
故原方程的特解为：x*=x₁*+x₂*=1-(1/2)tcost；
∴原方程的通解为：x=cost+sint+1-(1/2)tcost;