Question

请教高手两道量子力学试题，要有详细的解题过程，万分感谢

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题目在附件的图片中，看不清可以点击图片查看原图

Answer 1

h均代表约化Planck Const.
第一题:直接做算符替代，坐标表象中，x→x,所以坐标表象下,算符：exp(x)还是这个形式，即：<x|exp(x)|x'>；动量表象下，算符替换：x→ih(∂/∂p),代入既得：<p|exp(x)|p'>=<p|exp[ih(∂/∂p)]|p'>；这题目很容易，不多废话了~~

第二题：由于R（r）是径向波函数,而且是归一的，所以没什么用，所以把波函数直接写成Dirac符合的形式,略去径向部分：
|ψ>=（|0,0>+1/√3*|1,0>）|↑>+1/√3*(|1,1>-|1,0>)|↓>
所以这就一目了然了，Lz的可能值只有0,h；Sz的可能值有±h/2；
Sz=h/2的几率=|<↑|ψ>|^2=|（|0,0>+1/√3*|1,0>）|^2=4/3
Sz=-h/2的几率=|<↓|ψ>|^2=|1/√3*(|1,1>-|1,0>)|^2=2/3
当然Sz=±h/2几率和应该是为1的，上面两个式子只是给出几率的比值，归一之后可得：Sz=h/2的几率=2/3；Sz=-h/2的几率=1/3

Lz的可能值为0，h；算法和上面一样，只是要注意，Lz=0的时候，其本征态应该是：|0,0>和|1，0>两个，故而Lz=0的几率应该=|<0，0|ψ>|^2+|<1，0|ψ>|^2；
而Lz=h的本征态只有：|1,1>,故而Lz=h的几率应该=|<1，1|ψ>|^2；
这样算出来的结果应该分别是5/6；1/6~~

Answer 2

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Answer 3

向楼主表达敬佩之情……