Question

高中数学双曲线求解

Answer 1

解：双曲线的渐近线方程为：x^2/4-y^2=0. y=+/-1/2x; 

当P趋近于M是，PM和PN几乎在一条直线上；斜率趋近于渐近线的斜率1/2；P只能和M在同一侧，否则，PM都在斜率范围取值之外。PN斜率最大不超过1/2；最小也不小于水平线斜率=0。所以PN斜率的取值范围：为（0，1/2）。

Answer 2

x²/4-y²=1
a=2，b=1，渐近线y=±（1/2）x；
设MN斜率k，方程y=kx，必然有-1/2<k<1/2,在两条渐近线之间，双曲线所在角度范围内。
现在，kPM∈[1/2,2]，比渐近线更陡，P、M必须在双曲线的同一枝上。由于对称性，可以假定P、M同在双曲线的右枝上，N在左枝上。反过来的情况与此对称。

M（x0，y0），N（-x0，-y0），x0²/4-y0²=1，x0²=4（1+y0²），
x0=2√（1+y0²）
P（x，y），x²/4-y²=1；x=2√（1+y²）
kPM=（y-y0）/（x-x0），kPN=（y+y0）/（x+x0）
1/2≤（y-y0）/（x-x0）≤2
y²=x²/4-1，y0²=x0²/4-1
相减
（y+y0）（y-y0）=（1/4）（x+x0）（x-x0）
（y-y0）/（x-x0）=（1/4）（x+x0）/（y+y0）
kPM=（1/4）（1/kPN）
4kPM=1/kPN
kPN=1/4kPM
1/2≤kPM≤2
2≤4kPM≤8
1/8≤1/4kPM≤1/2
1/8≤kPN≤1/2
题目还是有点儿问题的，kPN=1/2是不可能的。对应的kPM=1/2也是不可能的。
平行于渐近线的直线，与双曲线的交点，至多有一个。
y=（1/2）x+d
x²/4-[（1/2）x+d]²=1
x²/4-x²/4-dx-d²=1
-dx-d²=1
x=-（1+d²）/d，
只有一个解，不可能有两个交点M、N，或者N、P