Question

行列式 和 矩阵 的关系

行列式 求 方程组的解 和 用矩阵 求 方程组的解，有什么关系哪，线性代数第一张讲的如何用行列式D1/D D2/D D3/D的方法求方程组的解，后面又讲了用矩阵求方程组的通解。二者有什么关系哪？我晕晕的

Answer 1

1. 行列式

   1）定义

   在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A |

   2）性质

   行列式与它的转置行列式相等；

   互换行列式的两行（列），行列式变号；

   行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；

   行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零；

   若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和；

   把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。

2. 矩阵

   1）定义

   在数学中，矩阵（Matrix）是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

     2）性质      

       矩阵的最基本运算包括矩阵加（减）法，数乘和转置运算。被称为“矩阵加法”、“数乘”和“转置”的运算不止一种。

举例：给出 m×n 矩阵 A 和 B，可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵，等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。

       另类加法可见于矩阵加法。

若给出一矩阵 A 及一数字 c，可定义标量积 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如

这两种运算令 M(m, n, R) 成为一实数线性空间，维数是mn.

若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵，它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵，其中

(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有 i 及 j。

例如

此乘法有如下性质：

(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律").

(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律")。

C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律")。

要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA。

对其他特殊乘法，见矩阵乘法。

  3. 区别

两个是不同的概念，行列式是个表达式或者一个数值，而矩阵则是一个数表或称为数阵的东西，如果矩阵是方阵，可以取行列式，这样可以赋予它好多行列式的运算。

Answer 2

第一种是克拉默法则，第二种是增广矩阵法，如果方程组有且仅有一解，即行列式不等于零或增广矩阵未出现全零行，两种方法一样；如果不止一种解，只能求通解，只能用矩阵法，因为此时行列式D等于零。

Answer 3

行列式主要解决n阶行列式n维向向量，以这个向量为邻边的n维图形的面积或者体积（计算面积体积n*n）柯西定义
矩阵主要用来看方程组的解是否唯一（方程组的解n*m）

Answer 4

行列式是一个数，可以求出它的值，用行列式求方程组的解和用矩阵求方程组的解的原理是一样的，但是用行列式求方程组的解最大的特点就是未知量的个数与方程的个数是一样的，也就是n个未知量对应n个方程，如果方程组的个数不等于未知量的个数，就是用矩阵求方程组的解了。那个D1/D.......是克拉默法则，实际中是不应用的，但是理论研究中很有用，是很有价值的。用矩阵求方程组的通解，是普遍运用的一种方法，矩阵可以化为阶梯型矩阵求解，行列式化为上三角或下三角来求解，还可以用行列式简单快速的判断出此方程组有无非零解，即用行列式的秩与它增广矩阵放入秩比较，其中还涉及到此方程组是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组，解法都不太一样，需要特殊记忆，还有很多特殊解题技巧也需要特使记忆，矩阵以后会大量应用，必须得熟练掌握它的性质及运算规律。