Question

有界函数和无界函数与可积的关系

这个问题一直搞不明白。可积函数一定是有界的，有界是可积的必要不充分条件。可是无界函数也有积分的呀。这是怎么个关系呀?
还有一个小问题：e^(-x^2)的原函数是什么呀？最好有详细的过程。

Answer 1

其实根据黎曼积分的定义，
可以证明：（黎曼积分的必要条件）
函数无界必不可积。
所谓无界函数的有积分，
其实是反常积分，
本质是“变限积分的极限值”。
很有内涵，记住：“变限积分的极限值”！
并非积分本身。

关于e^(-x^2)
课本上应该强调了，该函数是
“积不出的”，即其原函数不能用
基本初等函数{幂函数，指数函数，对数函数，三角函数}表示。
注意！“积不出的”与“不可积”是两码事，
显然此函数是可积的。

这些东西很多学生都在迷惑，关于“积不出函数”为什么“积不出”，相关证明很高深，涉及到函数论的内容。