Question

数学函数 导数练习题

设函数f(x)=x^2-mlnx,h(x)=x^2-x+a.
(1)当a=0时，f(x)≥h(x),在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m=2是，若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.

嗯嗯，要详细过程、思路~~~
细细~

Answer 1

(1)
x^2-mlnx-x^2+x=x-mlnx≥0(x>1),
x≥mlnx,m≤x/lnx,令g(x)=x/lnx,g'(x)=(lnx-x*1/x)/(lnx)^2=(lnx-1)/(lnx)^2,取g'(x)=0，解得lnx=1,x=e,
因为g(x)在x∈(1，e)上单调递减，在x∈（e，+∞）上单调递增，所以在x=e处取得最小值，gmin(x)=g(e)=e,
所以有m≤e；
（2）
k（x）=-2lnx+x-a=0,设两零点为x1≥1,x2≤3,a=-2lnx1+x1=-2lnx2+x2;
设g(x1)=-2lnx1+x1,y(x2)=-2lnx2+x2,
g'(x1)=-2/x1+1,(x1≥1),得g(x1)≥g(2)=-2ln2+2;
y'(x2)=-2/x2+1,(x2≤3)，得y(x2)≤y(3)=-2ln3+3;
所以有-2ln2+2≤a≤-2ln3+3
(3)
f'(x)=2x-m/x,
h'(x)=2x-1,
取f'(x)=0,得m=2x^2;x=√m/2,
取h'(x)=0,得x=1/2,
要满足f(x)和h(x)在公共定义域上具有相同的单调性，两函数极值点必相同，即
√m/2=1/2,所以m=1/2

Answer 2

5.已知f(x)=ax^3+bx^2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1）=-1，
（1）试求常数a、b、c的值
（2）试判断x=±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由。
f'(x)=3ax^2+2bx+c
在x=±1时取得极值
f'(±1)=0
3a+2b+c=0
3a-2b+c=0
a+b+c=-1
解方程组求出a,b,c
a=1/2
b=0
c=-3/2
f'(x)=3/2x^2-3/2
f'(x)=0
x=±1
列表
x
x<-1
x=-1
-1
1
y'
+
0
-
0
+
y
增
极大值
减
极小值
增
6.设函数f(x)=x^3-3ax+b(a≠0）.
（i)若曲线y=f(x）在点（2，f(x))处与直线y=8相切，求a,b的值；
（ii）求函数f(x)的单调区间与极值点。
f'(x)=3x^2-3a
x=2
f'(x)=12-3a=0
a=4
x=2
f(x)=8-12+b=8
b=12
f'(x)=3x^2-12
f'(x)=0
x=±2
列表
x
x<-2
x=-√2
-2
2
y'
+
0
-
0
+
y
增
极大值
减
极小值
增