Question

问号处的答案没看懂，求详细解答

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Answer 1

记向量 b = (1, 2, 3, ..., n)^T, 也即 n×1 矩阵，则 r(b) = 1.
A = bb^T, r(A) = r(b) = 1, 故 A 有 n-1 个零特征值。
A 的非零特征值 λ = tr(A) = 1+2^2+3^3+...+n^2 = (1/2)n(n+1).
对于 λ = 0，(A-λE)x = 0 可化为 x1 + 2x2 + 3x3 + ... +nxn = 0,
其基础解系即为 A 的属于特征值 λ = 0 的特征向量：
(2, -1, 0, ... , 0)^T ; (3, 0, -1, ... , 0)^T ; ...... , (n, 0, 0, ... , -1)^T.
对于 λ = (1/2)n(n+1)，特征向量与上述特征向量都正交，则为 (1, 2, 3, ... , n)^T 。
A 是实对称矩阵，故可相似对角化， A ~ diag( (1/2)n(n+1), 0, 0, ... , 0)