两边都有未知数的方程怎么解？
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1、整式方程
等号两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．
2、一元二次方程
一个格式方程整理后如果只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2次的方程，叫做一元二次方程．
3、一元二次方程的一般形式
方程ax2＋bx＋c=0(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，＋bx，＋c分别叫做二次项，一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
4、一元二次方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
5、直接开方法
形如x2=a(a≥0)和(x＋m)2=n(n≥0)的方程，根据平方根的定义，可采用直接开平方法解方程．
6、配方法解一元二次方程
例如：将方程x2＋6x＋7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3得：x2＋2·x·3=－7．
可以看出，为了使左边成为完全平方式，在方程两边都加上32(即一次项系数一半的平方)得
x2＋6x＋32＝－7＋32，整理得
(x＋3)2＝2，
解这个方程得．
这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法就是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以直接利用开平方法求出它的解．
7、一元二次方程的求根公式
一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时的根为．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．
8、一元二次方程的根的判别式
(1)当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根，；
(2)当b2－4ac=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根；
(3)当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)没有实数根．
其中b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式．
9、因式分解法
(1)分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将一元二次方程化为两个一元一次方程来求解，从而求出原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法．
(2)用分解因式法解一元二次方程的步骤：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
二、重难点知识归纳
1、一元二次方程的解法．
2、一元二次方程根的判别式．
三、典型例题剖析
例1、关于x的方程是一元二次方程，则m=______；
解：
由题意得解得．
故填．
例2、(1)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0的一根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．－1
C．1或－1 D．
(2)关于x的方程(m＋2)2x2＋3m2x＋m2－4=0有一根为0，则2m2－4m＋3的值为（ ）
A．3 B．19
C．±2 D．3或19
思路：
根据方程的根的定义可知数0都满足方程，但不同的是第(1)题给出的是关于x的一元二次方程，而第(2)题是关于x的方程，即后者有可能是关于x的一元一次方程，即(m＋2)2有可能为0，也有可能不为0，前者的二次项系数(a－1)一定不为0．
(1)将x=0代入方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0得a2－1=0，∴a=1或a=－1，又因为关于x的方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0是一元二次方程，∴a－1≠0即a≠1，故a的值为－1；
(2)将x=0代入原方程得m2－4=0，∴m=±2，当m=2时，2m2－4m＋3=3，当m=－2时，此时方程为一次方程，符合题意，且此时2m2－4m＋3=19，故所求的代数式的值为3或19．
解：
(1)B； (2)D．
总结：
(1)代解、求解是解决与方程的根有关的问题的两种基本方法；
(2)要注意关于x的方程与关于x的一元二次方程的区别，后者必须满足二次项系数不能为0．
例3、已知m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，试求(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)的值．
思路：
根据一元二次方程的根的定义，由于m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，所以m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0，由此不难求出(m2＋2006m－2007)和(n2＋2006n－2007)的值．
解：
∵m、n是方程x2＋2006x－2008=0的根，
∴m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0
∴m2＋2006m－2007=1
n2＋2006n＋2007=4015
∴(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)=1×4015=4015
总结：
要善于运用根的定义，求出某些代数式的值．
例4、解方程(1)x2－4x－3=0；(2)2x2＋3=7x．
思路：
(1)方程x2－4x－3=0的二次项的系数已经是1，可以直接运用配方法求解；
(2)方程2x2＋3=7x先化为一般形式，这个方程的二次项系数是2，为了便于配方，可把二次项系数先化为1，为此，把方程的各项都除以2．
解：
(1)移项得x2－4x=3
配方得x2－4x＋(－2)2=7
即(x－2)2=7
解这个方程得x－2=±，即；
(2)移项得2x2－7x=－3
把方程两边都除以2得
配方得．
即
解这个方程是，x2=3．
总结：
配方法是解一元二次方程的重要方法，熟练掌握完全平方式是配方法解题的基础．对于二次项系数为1的方程，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，若二次项系数不为1，一般应先将二次项系数变为1，然后再配方比较简便，熟练后，根据具体情况可灵活处理．
例5、小明、小华和小英三人共同探讨代数式x2－4x＋5的值的情况，他们进行了明确的分工，小明负责找出最小值，小华负责找出值为0的x的值，小英负责求出最大值，5分钟后，各自通报自己的成绩．
小华说：当x2－4x＋5=0时，方程没有解，故找不到满足条件的x值，使x2－4x＋5的值为零．
小明说：我考察了很多数，发现最小值为1．
小英说：x2－4x＋5的值随x取值改变而改变，我暂时没有找到它的最大值．
聪明的同学，你能用什么方法很快对他们的结论作出准确的判断吗？我想，你一定行的！
思路：
将x2－4x＋5配方易得出结论．
解：因为x2－4x＋5＝x2－4x＋22＋1
=(x－2)2＋1
当x=2时，代数式的值最小，最小值为1，所以小明结论正确，由此可知找不到满足条件的x值，使x2－4x＋5的值为零，也可以知道代数式没有最大值(在此处配方的威力可大啊！)
总结：
配方法是一种最重要的数学方法，通过配方，使代数式中出现完全平方式的形式，然后利用完全平方式的特点，使问题得到解决．
例6、解下列方程：
(1)；
(2)；
(3);
(4)．
思路：
用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
解：
(1)∵a=1，，c=10
∴
∴
(2)原方程可化为
∵a=1，，c=2
∴
∴
(3)原方程可化为
∵a=1，，c=－1
∴
∴；
∴．
(4)原方程可化为
∵
∴
∴；
∴．
总结：
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行。
例7、解方程：．
思路：
因为，若设则原方程可化为：3y2－5y－2=0，解此方程求得y值，再代回原式，求出x的值，也可以直接把看作一个整体，先求出的值，再求x．
解：
设，原方程化为3y2－5y－2=0．
∵a=3，b=－5，c=－2，
∴b2－4ac=25－4×3×(－2)=49
∴，∴y1=2，
当时，，解得．
当y=2时，，解得．
∴原方程的解为，．
总结：
使用换元法的关键在于换元式的确定．本例中求出y1=2，后还没有达到解题的目的．因为本例中不是解关于y的方程，而是解关于x的方程，因此，必须反代回去，求出x．
例8、(1)解下列方程：
x2－2x－2=0①； 2x2＋3x－1=0②；
2x2－4x＋1=0③； x2＋6x＋3=0④．
(2)上面四个方程中，有三个方程一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．
思路：
利用求根公式法求出方程的根．观察四个方程可知：方程①③④的一次项系数均为偶数．即一次项系数为偶数2n(n为整数)，再利用求根公式推导．
解：
(1)解方程x2－2x－2=0①
得
解方程2x2＋3x－1=0②
得
解方程2x2－4x＋1=0③
得
解方程x2＋6x＋3=0④
得；
(2)其中方程①③④的一次项系数为偶数2n(n为偶数)
一元二次方程ax2＋bx＋c=0其中b2－4ac≥0，b=2n，n为整数
因为b2－4ac≥0，即(2n)2－4ac≥0，∴n2－ac≥0
所以一元二次方程ax2＋2nx＋c=0(n2－ac≥0)的求根公式为．
总结：
找出方程中一次项系数的共同特点，然后再运用一元二次方程的求根公式推导出新的表达式．
例9、如果关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，试说明关于x的方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
思路：
由一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，从而求出k的取值范围，再由k的范围来说明方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
解：
因为关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，所以
解得k＞4．
所以当k=5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元一次方程，此时方程的根为．
当k≠5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元二次方程
所以b2－4ac=[－2(k＋2)]2－4(k－5)·k
=4(9k＋4)
因为k＞4，且k≠5，所以4(9k＋4)＞0，即b2－4ac＞0．
所以此时方程必有两个不等实根．
综上可知方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
总结：
(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别，方程有实数根“表示方程可能为一元一次方程”，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根；而方程“有两个实数根”则表示此时方程一定为一元二次方程；
(2)运用根的判别式时，一定要注意其成立的前提条件是二次项系数不能为0，即方程是一元二次方程．
例10、用因式分解法解下列方程．
(1)3(2x－5)2=4(5－2x)；(2)(3x－4)2=(4x－3)2；(3)9(2x＋3)2=25(1－3x)2．
思路：
用因式分解法解方程时，一定要通过分解因式的方式，使方程的左边变成积的因式，而右边为零，(1)中可提取公因式2x－5，(2)、(3) 中没有公因式，但发现可用平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)来分解．
解：
(1)原方程化为3(2x－5)2－4(5－2x)=0
即3(2x－5)2＋4(2x－5)=0
∴(2x－5)[3(2x－5)＋4]=0
∴；
(2)移项，得(3x－4)2－(4x－3)2=0
方程左边分解因式，
得[(3x－4)＋(4x－3)][(3x－4)－(4x－3)]=0
即(7x－7)(－x－1)=0
∴x1=1，x2=－1；
(3)移项，得9(2x＋3)2－25(1－3x)2=0
方程左边分解因式，
得[3(2x＋3)＋5(1－3x)][3(2x＋3)－5(1－3x)]=0
即(14－9x)(21x－4)=0
∴．
总结：
(1)在解方程中切忌在求解过程产生失根现象；
(2)运用公式法分解因式必须先将其改写成符合公式的特征的形式，再进行因式分解．
等号两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．
2、一元二次方程
一个格式方程整理后如果只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2次的方程，叫做一元二次方程．
3、一元二次方程的一般形式
方程ax2＋bx＋c=0(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，＋bx，＋c分别叫做二次项，一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
4、一元二次方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
5、直接开方法
形如x2=a(a≥0)和(x＋m)2=n(n≥0)的方程，根据平方根的定义，可采用直接开平方法解方程．
6、配方法解一元二次方程
例如：将方程x2＋6x＋7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3得：x2＋2·x·3=－7．
可以看出，为了使左边成为完全平方式，在方程两边都加上32(即一次项系数一半的平方)得
x2＋6x＋32＝－7＋32，整理得
(x＋3)2＝2，
解这个方程得．
这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法就是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以直接利用开平方法求出它的解．
7、一元二次方程的求根公式
一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0时的根为．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．
8、一元二次方程的根的判别式
(1)当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根，；
(2)当b2－4ac=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根；
(3)当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)没有实数根．
其中b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式．
9、因式分解法
(1)分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将一元二次方程化为两个一元一次方程来求解，从而求出原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法．
(2)用分解因式法解一元二次方程的步骤：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
二、重难点知识归纳
1、一元二次方程的解法．
2、一元二次方程根的判别式．
三、典型例题剖析
例1、关于x的方程是一元二次方程，则m=______；
解：
由题意得解得．
故填．
例2、(1)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0的一根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．－1
C．1或－1 D．
(2)关于x的方程(m＋2)2x2＋3m2x＋m2－4=0有一根为0，则2m2－4m＋3的值为（ ）
A．3 B．19
C．±2 D．3或19
思路：
根据方程的根的定义可知数0都满足方程，但不同的是第(1)题给出的是关于x的一元二次方程，而第(2)题是关于x的方程，即后者有可能是关于x的一元一次方程，即(m＋2)2有可能为0，也有可能不为0，前者的二次项系数(a－1)一定不为0．
(1)将x=0代入方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0得a2－1=0，∴a=1或a=－1，又因为关于x的方程(a－1)x2＋x＋a2－1=0是一元二次方程，∴a－1≠0即a≠1，故a的值为－1；
(2)将x=0代入原方程得m2－4=0，∴m=±2，当m=2时，2m2－4m＋3=3，当m=－2时，此时方程为一次方程，符合题意，且此时2m2－4m＋3=19，故所求的代数式的值为3或19．
解：
(1)B； (2)D．
总结：
(1)代解、求解是解决与方程的根有关的问题的两种基本方法；
(2)要注意关于x的方程与关于x的一元二次方程的区别，后者必须满足二次项系数不能为0．
例3、已知m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，试求(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)的值．
思路：
根据一元二次方程的根的定义，由于m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，所以m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0，由此不难求出(m2＋2006m－2007)和(n2＋2006n－2007)的值．
解：
∵m、n是方程x2＋2006x－2008=0的根，
∴m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0
∴m2＋2006m－2007=1
n2＋2006n＋2007=4015
∴(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)=1×4015=4015
总结：
要善于运用根的定义，求出某些代数式的值．
例4、解方程(1)x2－4x－3=0；(2)2x2＋3=7x．
思路：
(1)方程x2－4x－3=0的二次项的系数已经是1，可以直接运用配方法求解；
(2)方程2x2＋3=7x先化为一般形式，这个方程的二次项系数是2，为了便于配方，可把二次项系数先化为1，为此，把方程的各项都除以2．
解：
(1)移项得x2－4x=3
配方得x2－4x＋(－2)2=7
即(x－2)2=7
解这个方程得x－2=±，即；
(2)移项得2x2－7x=－3
把方程两边都除以2得
配方得．
即
解这个方程是，x2=3．
总结：
配方法是解一元二次方程的重要方法，熟练掌握完全平方式是配方法解题的基础．对于二次项系数为1的方程，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，若二次项系数不为1，一般应先将二次项系数变为1，然后再配方比较简便，熟练后，根据具体情况可灵活处理．
例5、小明、小华和小英三人共同探讨代数式x2－4x＋5的值的情况，他们进行了明确的分工，小明负责找出最小值，小华负责找出值为0的x的值，小英负责求出最大值，5分钟后，各自通报自己的成绩．
小华说：当x2－4x＋5=0时，方程没有解，故找不到满足条件的x值，使x2－4x＋5的值为零．
小明说：我考察了很多数，发现最小值为1．
小英说：x2－4x＋5的值随x取值改变而改变，我暂时没有找到它的最大值．
聪明的同学，你能用什么方法很快对他们的结论作出准确的判断吗？我想，你一定行的！
思路：
将x2－4x＋5配方易得出结论．
解：因为x2－4x＋5＝x2－4x＋22＋1
=(x－2)2＋1
当x=2时，代数式的值最小，最小值为1，所以小明结论正确，由此可知找不到满足条件的x值，使x2－4x＋5的值为零，也可以知道代数式没有最大值(在此处配方的威力可大啊！)
总结：
配方法是一种最重要的数学方法，通过配方，使代数式中出现完全平方式的形式，然后利用完全平方式的特点，使问题得到解决．
例6、解下列方程：
(1)；
(2)；
(3);
(4)．
思路：
用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
解：
(1)∵a=1，，c=10
∴
∴
(2)原方程可化为
∵a=1，，c=2
∴
∴
(3)原方程可化为
∵a=1，，c=－1
∴
∴；
∴．
(4)原方程可化为
∵
∴
∴；
∴．
总结：
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行。
例7、解方程：．
思路：
因为，若设则原方程可化为：3y2－5y－2=0，解此方程求得y值，再代回原式，求出x的值，也可以直接把看作一个整体，先求出的值，再求x．
解：
设，原方程化为3y2－5y－2=0．
∵a=3，b=－5，c=－2，
∴b2－4ac=25－4×3×(－2)=49
∴，∴y1=2，
当时，，解得．
当y=2时，，解得．
∴原方程的解为，．
总结：
使用换元法的关键在于换元式的确定．本例中求出y1=2，后还没有达到解题的目的．因为本例中不是解关于y的方程，而是解关于x的方程，因此，必须反代回去，求出x．
例8、(1)解下列方程：
x2－2x－2=0①； 2x2＋3x－1=0②；
2x2－4x＋1=0③； x2＋6x＋3=0④．
(2)上面四个方程中，有三个方程一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．
思路：
利用求根公式法求出方程的根．观察四个方程可知：方程①③④的一次项系数均为偶数．即一次项系数为偶数2n(n为整数)，再利用求根公式推导．
解：
(1)解方程x2－2x－2=0①
得
解方程2x2＋3x－1=0②
得
解方程2x2－4x＋1=0③
得
解方程x2＋6x＋3=0④
得；
(2)其中方程①③④的一次项系数为偶数2n(n为偶数)
一元二次方程ax2＋bx＋c=0其中b2－4ac≥0，b=2n，n为整数
因为b2－4ac≥0，即(2n)2－4ac≥0，∴n2－ac≥0
所以一元二次方程ax2＋2nx＋c=0(n2－ac≥0)的求根公式为．
总结：
找出方程中一次项系数的共同特点，然后再运用一元二次方程的求根公式推导出新的表达式．
例9、如果关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，试说明关于x的方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
思路：
由一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，从而求出k的取值范围，再由k的范围来说明方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
解：
因为关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，所以
解得k＞4．
所以当k=5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元一次方程，此时方程的根为．
当k≠5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元二次方程
所以b2－4ac=[－2(k＋2)]2－4(k－5)·k
=4(9k＋4)
因为k＞4，且k≠5，所以4(9k＋4)＞0，即b2－4ac＞0．
所以此时方程必有两个不等实根．
综上可知方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
总结：
(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别，方程有实数根“表示方程可能为一元一次方程”，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根；而方程“有两个实数根”则表示此时方程一定为一元二次方程；
(2)运用根的判别式时，一定要注意其成立的前提条件是二次项系数不能为0，即方程是一元二次方程．
例10、用因式分解法解下列方程．
(1)3(2x－5)2=4(5－2x)；(2)(3x－4)2=(4x－3)2；(3)9(2x＋3)2=25(1－3x)2．
思路：
用因式分解法解方程时，一定要通过分解因式的方式，使方程的左边变成积的因式，而右边为零，(1)中可提取公因式2x－5，(2)、(3) 中没有公因式，但发现可用平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)来分解．
解：
(1)原方程化为3(2x－5)2－4(5－2x)=0
即3(2x－5)2＋4(2x－5)=0
∴(2x－5)[3(2x－5)＋4]=0
∴；
(2)移项，得(3x－4)2－(4x－3)2=0
方程左边分解因式，
得[(3x－4)＋(4x－3)][(3x－4)－(4x－3)]=0
即(7x－7)(－x－1)=0
∴x1=1，x2=－1；
(3)移项，得9(2x＋3)2－25(1－3x)2=0
方程左边分解因式，
得[3(2x＋3)＋5(1－3x)][3(2x＋3)－5(1－3x)]=0
即(14－9x)(21x－4)=0
∴．
总结：
(1)在解方程中切忌在求解过程产生失根现象；
(2)运用公式法分解因式必须先将其改写成符合公式的特征的形式，再进行因式分解．
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两边同时加上或减去未知数的个数 使得所有的未知数都跑到一边 或者 直接先把未知数移项变号 使得未知数都在一边如：
3x+3=2x+7
3x-2x=7-3
x=4 两项都变号！！
3x+3=2x+7
3x-2x=7-3
x=4 两项都变号！！
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