Question

两道高中数学题，在线等【至急！！】

1.若f（x）是定义在零到正无穷上的减函数且对一切a，b属于零到正无穷都有f（a/b）=f(a)-f(b)，若f(4)=1，证不等式f(x+6)-(1/x)>2。

2.设y=f(x)图像与y=(2的x次方)-1关于y=x对称，则求|f(x)|单调区间

请好心人解答并附上详细求解方法，一旦采纳还会追加分值。

Answer 1

1.依题意由f(a/b)=f(a)-f(b),令a=b即得f(1)=0
所以f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x),又f(4)=1,所以2=2f(4)
即不等式可变为f(x+6)+f(x)>2f(4)
移项得f(x+6)-f(4)>f(4)-f(x)
即f(x/4+6/4)>f(4/x)
由于f(x)是定义在零到正无穷上的减函数，所以得出
x/4+3/2<4/x
x>0
x+6>0
综上得出0<x<2
2.依题意可知道f(x)是已知函数的反函数
即f(x)=log2 (x+1)，且f(x)在其定义域上是增函数
当x≥0时，f(x)≥0
当-1＜x＜0时，f(x)＜0
所以f(x)绝对值在（-1，0）上递减，在（0，正无穷）上递增

Answer 2

【注：LZ的题可能有点不妥。看看是否可改为递增，为增函数，解不等式f(x+6)-f(1/x)>2.而非证不等式】（1）解：由题设可知，f(4)=f(16/4)=f(16)-f(4).===>f(16)=2f(4)=2.由题设f(a/b)=f(a)-f(b)可知，f(x+6)-f(1/x)=f[(x+6)x],又2=f(16).故原不等式可化为f[(x+6)x]>f(16).(x>0).因函数f(x)递增，===》（x+6)x>16,(x>0).===>x>2.故原不等式的解为(2,+**).(2)解：由题设可知，若点P(a,b)是曲线y=f(x)上的任一点，则点P关于直线y=x的对称点Q(b,a)必在曲线y=(2^x)-1上，即有b=f(a).a=(2^b)-1.===>b=f(a).b=log2(a+1).===>f(a)=log2(a+1).即函数f(x)=log2(x+1).===>y=|f(x)|=|log2(x+1)|.数形结合可知，在区间(-1,0)上，函数y=|f(x)|递减。在区间[0,+**)上，函数y=|f(x)|递增。

Answer 3

一楼同学：我对你的回答两问均有置疑的地方（1）f(x)在定义域内为减函数，f(4)=1,f(1）为何等于0？对吗？（2）指数函数的反函数是对数函数。以2为底的对数函数在定义域内就是增函数，你为什么要有减函数的部分？难道函数值为负值你就令他为减函数吗？
啊！第（2）问，你是对的，昨晚时间太晚了，我这老眼昏花的没看到《绝对值》三字。
第（1）问，如是减函数，我就没办法解。另外，题目仍有不确切的地方：是证不等式，还是解不等式？如果是证明不等式成立，那么，x为任何值都应该成立。总之，这道题令人十分糊涂！害得我一夜都没睡好觉。我们老年人就是认真。
一楼同学：我是这样解得这道题：
你不必解出f(1)是多少。
f(4)=1(已知）
按题意f[( x+6)x]＞2f(4)如果是证不等式，你只能假设他成立。）（数学这个东西很严密）
f[(x+6)x]-f(4)＞1
f[(x+6)x/4]＞1
f[(x+6)x/16]＞0
f(x+6)-f(16/x)＞0 [f(x)在定义域内是减函数]
x+6＜16/x
x^2+6x＜16 ,0＜x＜2不等式成立。（这还是解不等式）

Answer 4

先回答第2题：
因为y=f(x)图像与y=(2的x次方)-1关于y=x对称
所以y=f(x)与y=(2的x次方)-1互为反函数
所以y=f(x)=log（x+1） （底数为2）
因为f(x)=log（x+1） （底数为2）中x>-1
所以f(x)的单调递增区间为（-1，+∞）
第一题等空了再给你想啊
再回答第1题：
因为f(4)=1
所以f(x+6)-(1/x)>2可以化为：
f(x+6)-(1/x)>2f(4)
所以f(x+6)-(1/x)-f(4)>f(4)
又因为f（a/b）=f(a)-f(b)
所以上式可化为：
f{[(x+6)x]/4)}>f(4)
即：f{（x^2+6x)/4)>f(4)
又因为f（x）是定义在零到正无穷上的减函数
所以（x^2+6x)/4<4 1式
再考虑定义域，有：x+6>0 2式
1/x>0 3式
1式、2式、3式取交集得：0<x<2