Question

求解答过程

Answer 1

（1）令F(x)=f(x)+f(1/x)=arctan(1/x)+arctan(x)，有F'(x)=1/(x²+1)-1/(x²+1)=0，则F(x)≡C，常数。又 x>0，可取 x=1，有 F(1)=arctan1+arctan1=π/4+π/4=π/2，即C=π/2。所以，arctan(1/x)+arctan(x)=π/2
（2） f(x)=x 即可令 F(x)=arctan(1/x)-x，有 F'(x)=-1/(x²+1)-1<0，则F(x)在(-∞,0)U(0,+∞)上单调递减，又F(1)=arctan1-1=π/4-1<0，F(√3/3)=arctan[1/(√3/3)]-√3/3=arctan(√3)-√3/3=π/3-√3/3>0，即 F(x)在(0,+∞)上有1个零点在(√3/3, 1)区间，即 f(x)=x 在(0,+∞)上有1个零点