Question

为何0＜x+y＜1时，x+y ＞sin(x+y)？

Answer 1

令x+y=u，0＜u＜1
令f(u)=u-sinu
f'(u)=u'-sin'u=1-cosu＞0
∴f(u)在(0，1)单调递增
f(0)=0,
∴f(u)在(0，1)内恒大于0
∴u-sinu＞0
∴u＞sinu
即 x+y ＞sin(x+y)

Answer 2

令f(x)=x-sinx (0<x<1)
那么f'(x)=1-cosx≥0，∴f(x)在(0,1)上单调递增
∴f(x)min=f(0)=0-0=0，∴f(x)>0，即x-sinx>0
∴x>sinx (0<x<1)
∴ 当0<x+y<1时，x+y>sin(x+y)