Question

已知函数f(x)=-sin^2(x)+sinx+a(1)当f(x)=0有实数解时,求a的取值范围

已知函数f(x)=-sin^2(x)+sinx+a(1)当f(x)=0有实数解时,求a的取值范围

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Answer 1

f(x)=-(sin^2x-sinx+1/4)+1/4+a
=-(sinx-1/2)^2+(4a+1)/4
-9/4<=-(sinx-1/2)^2<=0
f(x)=0有实数解，则：
0<=(4a+1)/4<=9/4
0<=4a+1<=9
-1<=4a<=8
-1/4<=a<=2

Answer 2

当f(x)=0
-sin^2(x)+sinx+a=0
即 sin^2(x)-sinx-a=0 (1)
f(x)=0有实数根,则
1+4a>=0 , a>=-1/4
解(1)得 sinx1=1+根号[(1+4a)/2]>=0,sinx2=1-根号[(1+4a)/2]
又-1<=sinA<=1
所以-1<=sinx1=[1+根号[(1+4a)]/2<=1,解得a=-1/4
-1<=sinx2=[1-根号(1+4a)]/2<=1,
整理得:0<=根号(1+4a)<=1
解得:-1/4<=a<=0

Answer 3

f(x)=-sin^2(x)+sinx+a=-sin^2(x)+sinx-1/4+1/4+a=-(sinx-1/2)+1/4+a
f(x)=0,则-(sinx-1/2)+1/4+a=0
sinx=1/2±√（1/4+a）
-1≤1/2±√（1/4+a）≤1
-3/2≤±√（1/4+a）≤1/2
-3/2≤-√（1/4+a）≤0且0≤√（1/4+a）≤1/2
0≤1/4+a≤9/4且0≤1/4+a≤1/4
-1/4≤a≤2且-1/4≤a≤0
所以-1/4≤a≤0