Question

一道几何题求解

四边形ABCD中∠ABD=40º，∠ADB=60º∠CBD=10º，∠CDB=20º
求证：①DA+DC=DB；②AC⊥BD；③CA=CB。

Answer 1

这种题目一看就是一道关于三角函数的计算题。

如下图所示，在BD内取点E，使CE=CD。

那么，∠CED=∠CDE=20°

根据外角与内角的关系，在△BEC中易知

∠BCE=∠CBE=10°，从而有

BE=CE=DC……①

接下来只要证明DE=DA即可。

利用正弦定理：

在△CDE中，DE/sin140°=CD/sin20°

而 sin140°=sin（180°-140°）=sin40°

所以，DE/sin40°=CD/sin20°……②

在△BCD中，CD/sin10°=BD/sin150°，得

BD=CD*sin150°/sin10°=CD*sin30°/sin10°=CD/（2sin10°）

又在△ABD中，DA/sin40°=BD/sin80°=BD/cos10°

将 BD 的值代入上式可得

DA/sin40°=CD/（2sin10°cos10°）=CD/sin20°……③

所以，由②③可得

DE/sin40°=DA/sin40°

即有，DE=DA……④

根据①④可得

DB=BE+DE=DA+DC

得证！

这样，△ADE就是正三角形。

后面那些就很简单了，留给题主自己思考吧。

Answer 2

证明此题的思路如图所示。希望可以帮到你
过程有点问题，稍等