Question

高中数学导数？

Answer 1

20.(1)f(x)=x^2-4xsinx-4cosx,
f'(x)=2x-4sinx-4xcosx+4sinx
=2x-4xcosx,
=2x(1-2cosx),
-π≤x<-π/3或0≤x<π/3时f'(x)<0,f(x)是减函数；-π/3<x≤0或π/3<x≤π时f'(x)>0,f(x)是增函数。
（2）f(x)=x^2-4√(x^2+1)sin(x+u),其中u=arctan(1/x).
由x^2>4√(x^2+1)平方得x^4>16x^2+16,
平方得(x^2-8)^2>80,
解得x^2>8+4√5，
即x>2√(2+√5)或x<-2√(2+√5),此时f(x)>0.①
把(1)的范围扩大些:-4π/3≤x<-π/3或0≤x<π/3时f'(x)<0,f(x)是减函数；-π/3<x≤0或π/3<x≤4π/3时f'(x)>0,f(x)是增函数。
f(4π/3)=16π^2/9+8π√3/3+2>0,
f(π/3)=π^2/9-2π√3/3-2<0,
f(0)=-4<0,
f(x)在[0,4π/3)内恰有1个实根。
f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数，
所以f(x)=0在(-4π/3,4π/3)恰有两根，由①，此外，它无实根。命题成立。