Question

高三数学三角函数

已知函数f（x）=cos2x+2sinx,求最小正周期

Answer 1

初中数学三角形的知识点是基础中的基础，也是必考题，很重要的内容，相对于高中三角函数来说，很简单了。

几何方面，重点在于对相似三角形和三角形全等的判别上，相关的定理要牢记于心，并且能利用对应边成比例进行简单的计算、证明和推导。

偏代数式方面，重点在于理解锐角的正弦、余弦、正切值的定义，并能进行计算，知道特殊角的三角函数值。特别注意，具体计算的时候，是将锐角放在一个直角三角形当中来考虑的，比如该角正弦值就是对边比斜边，不要搞混了。

高中阶段，重点在于对三角函数的全面理解，这只是基础。进阶部分是要能利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识解三角形。所谓解三角形就是要通过计算的办法确定任意一个三角形的三个角和三条边。

学习高中三角函数要特别注意基础，知道是怎么推导而来的。

在平面直角坐标系中，以原点为圆心画一个半径为1的单位圆，这个单位圆上任取一点，将它与原点连起来，再分别作其与x,y轴的垂线。很容易得到连线倾斜角的正弦、余弦…就连正负号都很清楚，三角函数的学习就是从这里引入的，这个经过搞不清楚，后面的内容很容易弄混淆。

Answer 2

f（x）=cos2x+2sinx
相当于cos2x与2sinx两个函数的叠加
cos2x的最小正周期是2π/2=π
sinx的最小正周期是2π
π与2π的最小公倍数是2π
根据周期函数叠加的性质，函数f（x）=cos2x+2sinx的最小正周期是2π

Answer 3

cos2x的最小正周期是π；sinx的最小正周期是2π。
若要cos2x和sinx处于同一个周期，则必须是两个周期的cos2x和一个周期的sinx;
故cos2x+2sinx的最小正周期是2π;

Answer 4

f（x）=cos2x+2sinx,,
所以f(x+2π)=cos(2x+4π)+2sin(x+2π)
=cos2x+2sinx=f(x),
所以2π是f(x)的周期。
设0<t<2π是f(x)的周期，则f(x+t)=f(x),即
cos(2x+2t)+2sin(x+t)=cos2x+2sinx,
和差化积得-2sin(2x+t)sint+2cos(x+t/2)sin(t/2)=0,
所以2sin(t/2)[cos(x+t/2)-2sin(2x+t)cos(t/2)]=0对任意的x恒成立，sin(t/2)≠0,
x=0时cos(x+t/2)-2sin(2x+t)cos(t/2)=cos(t/2)[1-2sint]=0,
cos(t/2)=0或sint=1/2,
所以t=π，π/6，或5π/6；①
x=π/2时cos(x+t/2)-2sin(2x+t)cos(t/2)=-sin(t/2)+2sintcos(t/2)
=sin(t/2){4[cos(t/2)]^2-1]=sin(t/2)[2cost+1]=0,
所以sin(t/2)=0（无解）,或cost=-1/2,
所以t=2π/3或4π/3.②
①②无公共部分，矛盾。
所以2π是f(x)的最小正周期。

Answer 5

cos2x的最小正周期T₁=π；sinx的最小正周期T₂=2π；
T₁与T₂的最小公倍数是2π；因此f(x)=cos2x+2sinx的最小正周期T=2π；