Question

二次函数压轴题

已知，抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）C（0，-2）
（1）求这条抛物线的解析式
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标。
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E，连结PD，PE，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式。试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由
PS！！我主要想知道自己的方法错哪了
我第三问方法是证明DEPC是平行四边形 所以PE=CD=m,然后因为PE边上的高为1，所以S=m/2，请大家看看我错哪了，不明白！清楚讲解加分！别粘贴！

Answer 1

(1)抛物线的解析式：由于A（-3，0），B点关于x=-1对称，所以B（1，0），又
C(0,-2),带入y=ax^2+bx+c求得y=2/3x^2+4/3x-2.

(2)做辅助线AP，显然AP等于BP,因为△APB为等腰三角形。所以△PBC得周长等于AP+PC+CB,又CB为常数，故只要AP+PC最小即可。显然A，C两点间直线距离最短，所以只要求得AC与对称轴为x=-1的交线即可。过AC的直线的方程为
y=-2/3（x+3），当x=-1时，的y=-4/3.

（3）DEPC不是平行四边形。因为PE不平行于CD，除非E点的坐标为（-1，0）,E是在X轴上！
由于CD=m，所以OD的长为2-m，又因为DE平行于AC，所以角OED的tg值为-2/3,所以DE=0.5*(2-m)*13^(1/2),，△PDE中DE边上的高是3m/13^(1/2),所以),△PDE的面积S=1/2*[0.5*(2-m)*13^(1/2)]*[3m/13^(1/2)]=1/4*(2-m)*3m=3/4(2-m)m.

S=3/4(2-m)m=-3/4[(m-1)^2-1],当m=1时，此时m<2,故有最大值，为3/4.

Answer 2

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）还有如下三种形式表示：
1、顶 点 式：y=a(x-h)2+k,(h,k)为顶点坐标。
2、交 点 式：当△=b2-4ac≥0时，设方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则二次函数的解析式可写为y=a(x-x1)(x-x2),点（x1,0）,(x2,0) 是二次函数的图象与x 轴的交点。
3、广义交点式：二次函数的图象具有轴对称性，由此我们可知：二次函数图象上两点（x1,y1）、（x2,y2）, 若y1=y2=t,则对称轴为:x= ，此时， 解析式可写为：y=a(x-x1)(x-x2)+t,这是交点式的推广。
在用待定系数法求二次函数的解析式时，运用上面的知识，恰当选择设立解析式，可以开发解题智慧，节省解题力量，提高解题的速度和准确性，达到事半功倍的效果，现举例如下：
例1、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标是　- 、，与y轴的交点的纵坐标是-5，求抛物线的解析式。（人教版《代数》第三册P143第8题②小题）。
解法一:由题意可设解析式为交点式:y=a(x+ )(x- )，又因抛物线过点（0，-5），代入上式，立即可求得a= , 故得解。
说明：此法只有一个待定系数a，比设一般式简单。
解法二：由题意知：ax2+bx+c=0的两根为- 、，由一元二次方程根与系数的关系得：
　 -　 　　　① -　　　　　②
又由抛物线过点（0，-5） 得c= -5 ③
联立①、②、③可迅速求得a、b、c 从而得 解。
说明：此法把二次函数与一元二次方程联系起来了，关于待定系数a、b、c的三个方程① ② ③解起来也很简单。
例2：一条抛物线y=ax2+bx+c，经过点（0，0），（0，12），最高点的纵坐标是3。求抛物线的解析式。（人教版初中《代数》第三册P145第7题）
解法一：由题意知：抛物线经过x轴上两点（0,0）,(12,0)，故可设抛物线的解析式为交点式y=a(x-0)(x-12)，即y=ax(x-12)=ax2-12ax，（a≠0)
“最高点的纵坐标是3”——抛物线的顶点的纵坐标为3。
因此，　　　　　　　 　　　，问题得解。
解法二：由于抛物线上两点（0,0 ）（12,0）的纵坐标相同，由此可知抛物线的对称轴为：　　　，即x=6，因此结合题意可知抛物线的顶点为（6,3），故可设抛物线的解析式为顶点式：y=a(x-6)2+3，取点（0,0）或（12，0)代入这个解析式，立即可得 　　，问题得解。
例3：已知抛物线经过点（-1，2），（2，2），（1，-2）三点，求抛物线的解析式。
分析，由于点（-1，2）（2，2）的纵坐标相同，因此，可设抛物线的解析式是为广义交点式：y=a（x+1）（x-2）+2，代入点（1,-2），可求得a=2，问题得解。
总之，求二次函数的解析式，必须透彻理解二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象的对称性等必备知识，充分利用题设条件，合理恰当地选择设立二次函数的解析式的形式，减少待定系数的个数，达到迅速，准确地解决问题的目的，实现数学素养的提高。

Answer 3

（1）能
设BQ交y轴于C点
因为是正方形，所以∠AOB=∠AOQ=45°
可知三角形BCO为等腰直角三角形
所以BQ两点的横纵坐标绝对值相等
即|X|=|y|，因为y=x²，所以BQ坐标分别为（-1，1）和（1，1）
(2)道理和（1）一样
只要|X|=|y|就行
x=y或x=
-y
x=ax²或x=-ax²
解得x=正负1/a
(3)设Q（x，y）
你把图画出来
可以看到y-n=x-m
a(x-m)²=x-m
x=1/a
+m
y=1/a
+n

Answer 4

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