Question

这题怎么做？上一题

Answer 1

1.f(x)=ax2+1(a>0),则f′(x)=2ax,k1=2a，
g(x)=x3+bx,则g′(x)=3x2+b,k2=3+b，
由(1,c)为公共切点，可得：2a=3+b ①
又f(1)=a+1,g(1)=1+b，
∴a+1=1+b，
即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3.
(2)当a=3,b=−9时,设h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2−9x+1
则h′(x)=3x2+6x−9，
令h′(x)=0，
解得：x1=−3,x2=1；
∴k⩽−3时,函数h(x)在(−∞,−3)上单调增,在(−3,1]上单调减,(1,2)上单调增,所以在区间[k,2]上的最大值为h(−3)=28
−3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28
所以k的取值范围是(−∞,−3]
分析：
（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）当a=3，b=-9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2-9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤-3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（-3）=28；-3<k<2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．