Question

求解这道高数题！

不知道用什么方法做，求点拨！

Answer 1

（1）因为f(x)在[0,1]上连续，所以|f(x)|在[0,1]上连续
根据闭区间上连续函数的介值定理，存在x0∈[0,1]，使得|f(x0)|=max|f(x)|
若x0=0或1，则|f(x)|<=|f(x0)|=0，即f(x)恒=0
则f'(x)恒=0，f''(x)恒=0，这与|f''(x)|>=1矛盾
所以x0∈(0,1)
（2）将f(x)在x=x0处二阶泰勒展开
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(ξ)/2*(x-x0)^2，其中ξ介于x和x0之间
分别将x=0和x=1代入
f(0)=f(x0)+f'(x0)(-x0)+f''(a)/2*x0^2，其中a∈(0,x0)
f(1)=f(x0)+f'(x0)(1-x0)+f''(b)/2*(1-x0)^2，其中b∈(x0,1)
因为f(0)=f(1)=0，且x0是f(x)的极值点，即f'(x0)=0
所以f(x0)+f''(a)/2*x0^2=0
f(x0)+f''(b)/2*(1-x0)^2=0
若0<x0<=1/2，则1/2<=1-x0<1
f(x0)=-f''(b)/2*(1-x0)^2
|f(x0)|=|f''(b)|/2*(1-x0)^2>=1/2*(1/2)^2=1/8
若1/2<=x0<1
f(x0)=-f''(a)/2*x0^2
|f(x0)|=|f''(a)|/2*x0^2>=1/2*(1/2)^2=1/8
综上所述，对x0∈(0,1)，有|f(x0)|>=1/8