Question

一道初中数学竞赛题，懂得帮忙下

有序正整数对(a b)满足a+b=2008 a<b且a b 互质，则满足条件的（a b)共有 答案 500对 怎么算的

Answer 1

满足A+B=2008且A<B的数对共1004个除去偶数共有502个设存在某组数对a,b满足条件，但有共约数t且a=p*tb=q*t(q>p)则p*t+q*t=2008即（p+q）t=2008所以t是2008的约数（奇约数）2008=2*2*2*251251是质数且t不取偶数所以t=251p+q=8且p,q为奇数，p<q所以可取p=1,q=7p=3,q=5这两组则在所有的502组数对中只有两组是不互质的即(251,1757)(753,1255)除去这两组共有502-2=500对满足条件

Answer 2

2008=2*2*2*251

2 4 6 8 ...1002 1004 502个数
251 753 2个数
1004-502-2=500

Answer 3

500对！
由辗转相除法有：
(a,b)=(a-(-b),b)=(a+b,b)=(2008,b);
只要b与2008互素,则a与b互素;
而小于2008且与2008互素的数的个数是
Φ(2008)
由于2008=2^3*251
故Φ(2008)=2008*(1-1/2)*(1-1/251)=1000
由于，a<b故这样的数对有1000/2=500对！
我编了个程序验证过，确实是500对～～