Question

基本不等式及其应用的题目

已知a,b,c是不全相等的正数，且abc=1,求证：1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c

Answer 1

abc=1
1/a=bc,1/b=ac,1/c=ab
1/a+1/b+1/c
=ab+bc+ca
=(2ab+2bc+2ca)/2
=(ab+bc+bc+ca+ca+ab)/2
>=(2√ab^2c+2√abc^2+2√a^2bc)/2…………（平均不等式）
=√ab^2c+√abc^2+√a^2bc…………（abc=1）
>=√a+√b+√c
等号成立条件a=b=c
又已知a,b,c是不全相等的正数
1/a+1/b+1/c>√a+√b+√c

Answer 2

1/a+1/b+1/c＞√a+√b+√c

(abc)/a+(abc)/b+(abc)/c＞√a(abc)+√b(abc)+√c(abc)

ab+bc+ca>a√bc+b√ca+c√ab

2(ab+bc+ca)-2(a√bc+b√ca+c√ab)>0

(ab+bc-2a√bc)+(bc+ca-2b√ca)+(ca+ab-2c√ab)>0

(√ab-√bc)^2+(√bc-√ca)^2+(√ca-√ab)^2>0

a，b, c为互不相等的正数,所以不等式成立。

得证