Question

初中数学题

如图，AB=20，AD=25的长方形ABCD沿着PQ折叠，点C的对称点为C（撇）在AB上，D的对称点为D（撇），AP与C（撇）D（撇）相较于R，当AC（撇）=15时，回答下面的问题。
（1）求BQ的长
（2）求AR的长
（3）求DP的长

Answer 1

1、 两个男孩各骑一辆自行车，从相距2o英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只，开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1o英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？
　　答案
　　每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2o英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。
　　许多人试图用复杂的方法求解这道题目。他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的。据说，在一次鸡尾酒会上，有人向（john von neumann, 1903～1957,20世纪最伟大的数学家之一。）提出这个问题，他思索片刻便给出正确答案。提问者显得有点沮丧，他解释说，绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。
　　冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色。“可是，我用的是无穷级数求和的方法.”他解释道
　　2、 有位渔夫，头戴一顶大草帽，坐在划艇上在一条河中钓鱼。河水的流动速度是每小时3英里，他的划艇以同样的速度顺流而下。“我得向上游划行几英里，”他自言自语道，“这里的鱼儿不愿上钩！”
　　正当他开始向上游划行的时候，一阵风把他的草帽吹落到船旁的水中。但是，我们这位渔夫并没有注意到他的草帽丢了，仍然向上游划行。直到他划行到船与草帽相距5英里的时候，他才发觉这一点。于是他立即掉转船头，向下游划去，终于追上了他那顶在水中漂流的草帽。
　　在静水中，渔夫划行的速度总是每小时5英里。在他向上游或下游划行时，一直保持这个速度不变。当然，这并不是他相对于河岸的速度。例如，当他以每小时5英里的速度向上游划行时，河水将以每小时3英里的速度把他向下游拖去，因此，他相对于河岸的速度仅是每小时2英里；当他向下游划行时，他的划行速度与河水的流动速度将共同作用，使得他相对于河岸的速度为每小时8英里。
　　如果渔夫是在下午2时丢失草帽的，那么他找回草帽是在什么时候？
　　答案
　　由于河水的流动速度对划艇和草帽产生同样的影响，所以在求解这道趣题的时候可以对河水的流动速度完全不予考虑。虽然是河水在流动而河岸保持不动，但是我们可以设想是河水完全静止而河岸在移动。就我们所关心的划艇与草帽来说，这种设想和上述情况毫无无差别。
　　既然渔夫离开草帽后划行了5英里，那么，他当然是又向回划行了5英里，回到草帽那儿。因此，相对于河水来说，他总共划行了10英里。渔夫相对于河水的划行速度为每小时5英里，所以他一定是总共花了2小时划完这10英里。于是，他在下午4时找回了他那顶落水的草帽。
　　这种情况同计算地球表面上物体的速度和距离的情况相类似。地球虽然旋转着穿越太空，但是这种运动对它表面上的一切物体产生同样的效应，因此对于绝大多数速度和距离的问题，地球的这种运动可以完全不予考虑．
　　3、 一架飞机从a城飞往b城，然后返回a城。在无风的情况下，它整个往返飞行的平均地速（相对于地面的速度）为每小时100英里。假设沿着从a城到b城的方向笔直地刮着一股持续的大风。如果在飞机往返飞行的整个过程中发动机的速度同往常完全一样，这股风将对飞机往返飞行的平均地速有何影响？
　　怀特先生论证道：“这股风根本不会影响平均地速。在飞机从a城飞往b城的过程中，大风将加快飞机的速度，但在返回的过程中大风将以相等的数量减缓飞机的速度。”“这似乎言之有理，”布朗先生表示赞同，“但是，假如风速是每小时l00英里。飞机将以每小时200英里的速度从a城飞往b城，但它返回时的速度将是零！飞机根本不能飞回来！”你能解释这似乎矛盾的现象吗？
　　答案
　　怀特先生说，这股风在一个方向上给飞机速度的增加量等于在另一个方向上给飞机速度的减少量。这是对的。但是，他说这股风对飞机整个往返飞行的平均地速不发生影响，这就错了。
　　怀特先生的失误在于：他没有考虑飞机分别在这两种速度下所用的时间。
　　逆风的回程飞行所用的时间，要比顺风的去程飞行所用的时间长得多。其结果是，地速被减缓了的飞行过程要花费更多的时间，因而往返飞行的平均地速要低于无风时的情况。
　　风越大，平均地速降低得越厉害。当风速等于或超过飞机的速度时，往返飞行的平均地速变为零，因为飞机不能往回飞了。
　　4、 是唐初作为“算学”教科书的的之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题，“”问题是其中之一。原题如下： 令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。
　　问雄、兔各几何？
　　原书的解法是；设头数是a，足数是b。则b／2－a是兔数，a－（b／2－a）是雉数。这个解法确实是奇妙的。原书在解这个问题时，很可能是采用了方程的方法。
　　设x为雉数，y为兔数，则有
　　x＋y＝b， 2x＋4y＝a
　　解之得
　　y＝b／2－a，
　　x＝a－（b／2－a）
　　根据这组公式很容易得出原题的答案：兔12只，雉22只。
　　5、我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。
　　经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。 每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。
　　问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？
　　答案：日租金360元。
　　虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入； 扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元。
　　当然，所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市，风险自担。
6 数学家维纳的年龄，全题如下： 我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，维纳的年龄是多少? 解答：咋一看，这道题很难，其实不然。设维纳的年龄是x，首先岁数的立方是四位数，这确定了一个范围。10的立方是1000，20的立方是8000，21的立方是9261，是四位数；22的立方是10648；所以10=<x<=21 x四次方是个六位数,10的四次方是10000，离六位数差远啦，15的四次方是50625还不是六位数，17的四次方是83521也不是六位数。18的四次方是104976是六位数。20的四次方是160000；21的四次方是194481; 综合上述，得18=<x<=21,那只可能是18，19，20，21四个数中的一个数；因为这两个数刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，四位数和六位数正好用了十个数字，所以四位数和六位数中没有重复数字，现在来一一验证，20的立方是80000，有重复；21的四次方是194481，也有重复；19的四次方是130321；也有重复；18的立方是5832，18的四次方是104976，都没有重复。 所以，维纳的年龄应是18。
　　7.abcd乘9=dcba
　　a=? b=? c=? d=?
　　答案：d=9,a=1,b=0,c=8
　　1089*9=9801
　　8、漆上颜色的正方体
　　设想你有一罐红漆，一罐蓝漆，以及大量同样大小的立方体木块。你打算把这些立方体的每一面漆成单一的红色或单一的蓝色。例如，你会把一块立方体完全漆成红色。第二块，你会决定漆成3面红3面蓝。第三块或许也是3面红3面蓝，但是各面的颜色与第二块相应各面的颜色不完全相同。
　　按照这种做法，你能漆成多少互不相同的立方体？如果一块立方体经过翻转，它各面的颜色与另一块立方体的相应各面相同，这两块立方体就被认为是相同的。
　　答案总共漆成10块不同的立方体。
　　9.老人展转病榻已经几个月了，他想，去见上帝的日子已经不远了，便把孩子们叫到床前，铺开自己一生积蓄的钱财，然后对老大说：
　　“你拿去100克朗吧！”
　　当老大从一大堆钱币中，取出100克朗后，父亲又说：
　　“再拿剩下的十分之一去吧！”
　　于是，老大照拿了。
　　轮到老二，父亲说：“你拿去200克朗和剩下的十分之一。”
　　老三分到300克朗和剩下的十分之一，老四分到400克朗和剩下的十分之一，老五、老六、……都按这样的分法分下去。
　　在全部财产分尽之后，老人用微弱的声调对儿子们说：“好啦，我可以放心地走了。”
　　老人去世后，兄弟们各自点数自己的钱数，却发现所有人分得的遗产都相等。
　　聪明的朋友算一算：这位老人有多少遗产，有几个儿子，每个儿子分得多少遗产。
　　答案9个儿子，8100克朗财产
　　10、工资的选择
　　假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：
　　（a） 工资以年薪计，第一年为4000美元以后每年加800美元；
　　（b） 工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元。
　　你选择哪一种方案？为什么？
　　答案：第二种方案要比第一种方案好得多

Answer 2

我们可以先将长方形 ABCD 和其在折叠前的位置画出来，如下所示：

```
C'----------------------------------D'
| |
| |
| |
P| |Q
A------------------------------------B
| |
| |
| |
R| |
D------------------------------------C
```

在折叠之前，长方形 ABCD 的面积为 S = AB × AD = 20 × 25 = 500。

在折叠之后，我们可以将折叠后的图形还原为一个平面图形
```

在这个平面图形中，我们可以看到：

- 矩形 ARDC' 的长为 AD = 25，宽为 AR。
- 矩形 BQC' 的长为 AB = 20，宽为 BQ。
- 三角形 C'DP 的面积等于矩形 ARDC' 的面积减去矩形 BQC' 的面积，即 S - 15BQ = 25AR - 20BQ。

根据题目条件，AC' = 15，因此 C'D = 15，CD = 20 - 15 = 5，因此 DC' = 20 - 5 = 15。

我们可以将矩形 ARDC'
根据勾股定理，我们可以得到：

- AP = √(AR^2 + PR^2)。
- ΔAPR 的面积为 1/2 × AR × PR。
- ΔC'DP 的面积为 1/2 × DC' × DP = 7.5DP。
- 矩形 ARDC' 的面积为 AR × DC' = 25 × 15 = 375。
- 矩形 BQC' 的面积为 BQ × AB = 20BQ。

将上述结果代入 S - 15BQ = 25AR - 20BQ，可以得到：

500 - 15BQ = 25√(AR^2 + PR^2) - 20BQ

将 AR^2 + PR^2 代入上式，可以得到：

500 - 15BQ = 25AP - 20BQ

将 AP 代入上式，可以得到：

500 - 15BQ = 25√(AR^2 + PR^2) - 20BQ

625 - 50BQ + 400 = 625AR^2

因此：

AR^2 = (625 - 50BQ + 400) / 625

AR^2 = (125 - 10BQ) / 5

AR^2 = 25 - 2BQ

(1) 当 AC' = 15 时，根据勾股定理，可以得到：

AP = √(AR^2 + PR^2) = √(25 - 2BQ + PR^2)

BC' = AB - AC' = 20 - 15 = 5

根据平行四边形对角线互相平分的性质，可以得到：

PR = BC' = 5

将 PR = 5 代入 AP 的表达式，可以得到：

AP = √(25 - 2BQ + 5^2) = √(50 - 2BQ)

将 AP = 15 代入上式，可以得到：

15 = √(50 - 2BQ)

因此：

BQ = 17

(2) 将 BQ = 17 代入 AR^2 = 25 - 2BQ，可以得到：

AR^2 = 25 - 2 × 17 = -9

由于 AR 是一个长度，因此 AR 不能取负值，因此没有满足条件的 AR。

(3) 将 BQ = 17 代入 S - 15BQ = 25AR - 20BQ，可以得到：

500 - 15 × 17 = 25AR - 20 × 17

因此：

DP = 2

因此，BQ 的长为 17，AR 不存在满足条件的取值，DP 的长为 2。

Answer 3

这里主要是根据折叠，很多三角形是全等或相似得到的关系。具体证明过程略去。一般都是因为对顶角相等、又有一个直角，所以AAA相似。全等的我认为不用证明，因为是对折过去的，所以线段肯定相等。具体过程如下

Answer 4

如图所示；BQ=11.98,AR=6.369,DP=8.998 .

Answer 5

这样解，有图（真实比例），点击放大：