Question

线性代数与解析几何

用行列式的性质计算值

Answer 1

1.
由于是实对称阵，所以“每一列元素之和都等于a”等价于“每一行元素之和都等于a”。
令A=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
an1 an2 ... ann
则A*[1,1,...,1]^T就是求A的每行元素之和，当然得到[a,a,...,a]^T
所以Ap=ap,即a是A的一个特征值，它对应的特征向量为p=[1，1，1，...1]^T
2.
先求秩：
r(A)<=r(u)=1,又由于u是非零向量，所以r(A)=1
求出r(A)=1后，就能知道A的特征值中必定是（n-1）个0，和一个非零数。
由于tr(A)=tr(u*u^T)=tr(u^T*u)=u1^2+u2^2+...+un^2
所以A的特征值是：
（n-1）个0，和u1^2+u2^2+...+un^2