Question

高等数学，求解第9，4题

如图

Answer 1

9、方程可化为dy/dx=y/(x-1)+2(x-1)²
先求对应的齐次方程dy/dx=y/(x-1)
dy/y=dx/(x-1)，ln|y|=ln|x-1|+ln|C|，
即y=C(x-1)
由常数变易法，令y=C(x)(x-1)
则dy/dx=C'(x)(x-1)+C(x)
代入原方程得C'(x)=2(x-1)
C(x)=x²-2x+C或者y=(x-1)²+C
故原方程的通解为y=(x-1)(x²-2x+C)或者y=(x-1)^3+C(x-1)
4、原方程可化为dy/dx=xy/(1+x²)+1/(1+x²)
先求对应的齐次方程dy/dx=xy/(1+x²)
dy/y=xdx/(1+x²)=½ d(1+x²)/(1+x²)
ln|y|=½ln(1+x²)+ln|C|
即y=C √(1+x²)
由常数变易法，令y=C(x) √(1+x²)
代入原方程得C'(x)=1/ (1+x²)^(3/2)
C(x)=∫dx/ (1+x²)^(3/2)=x/√(1+x²)+C
故原方程的通解为y=x+C√(1+x²)
y(1)=1+C/√2=0，C=-√2
故所求特解为y=x-√2/√(1+x²)

Answer 2

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