Question

请教一道高中数学题 （关于解三角形的题）

在三角形ABC中，AB=1,BC=2,则C的取值范围是什么

Answer 1

2种方法
法一：
因为c=AB=1,a=BC=2,b=AC
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知
1＜b＜3，根据余弦定理
cosC＝(a²＋b²－c²)／2ab
＝（4＋b²－1）／4b
＝（3＋b²）／4b
＝3／4b＋b／4
＝(1／4)（√(3／b)－√b)²＋√3／2≥√3／2
所以0<C≤30 º
法二：
做个图就明白了

BC=2，以B为圆心做半径为1的圆，则A在圆上。

连接C和圆上任意的一点，即构成△ABC

因此∠ACB最大时是AC相切于圆，因此此时∠ACB=arcsin（AB/BC）=30°

最小的极限当然是0°了，但取不到0°，因为此时ABC共线，构不成△

因此正确的答案是
0°＜ ∠C ≤ 30°

Answer 2

因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
所以1＜C ＜3

Answer 3

c=1,a=2
则2-1<b<2+1
1<b<3

cosC=(a²+b²-c²)/2ab
=(b²+3)/4b
=b/4+3/(4b)
=1/4(b+3/b)

b+3/b
则0<b<√3是减函数，b>√3是增函数
b=√3，最小=2√3
b=1，b=3，b+3/b=4
所以2√3<=b+3/b<4
√3/2<=cosC<1
所以0<C<π/6

Answer 4

（1，3）
把它转化为向量，AB向量为1，BC为2，求AB+BC,即AC向量的模，记住最后取开区间即可，两边之和大于第三边。