Question

若实数x∈[2,4],使得关于x的一元二次不等式ax2-2ax+a+1>0成立，求实数a的范围

Answer 1

解：二次函数f(x)=ax²-2ax+a+1
对称轴x=-(-2a)/(2a)=1
而题目要求x∈[2,4],有f(x)＞0
故[2，4]单调递增或者单调递减
所以只需同时满足f(2)＞0,f(4)＞0
即可
f(2)=4a-4a+a+1=a+1＞0
a>-1
f(4)=16a-8a+a+1=9a+1>0
a>-1/9
但不要忘了有一个大前提
一元二次不等式a≠0
综上所述：实数a的取值范围是
a＞-1/9且a≠0

Answer 2

设f(x)=ax²-2ax+a+1=a(x-1)²+1
根据题意知
f(x)在[2，4]上大于0，即f(x)在区间[2,4]上最小值大于0。
该函数对称轴为x=1，可以大致画个图，数形结合分析出来。分类讨论a>0和a<0两种情况。

Answer 3