Question

已知△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，BD平分△ABC，CE垂直BD交BD延长线于E，证明：BD=2CE

Answer 1

证明：∵CE⊥BD
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠2=∠4(已证),
BE=BE（公共边）,
∠BEF=∠BEC（已证）
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴EF=EC（三角形的性质）
∴CF=2CE
∵∠4+∠ADB=90°,∠3+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE（对顶角相等）
∴∠4=∠3
在△ABD和△ACF中
∠4=∠3（已证）,
AB=AC（已知）,
∠5=∠6（已证）
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF（三角形的性质）
∴BD=2CE
（等量代换）

Answer 2

延长BA、CE，两线相交于点F
∵CE⊥BD
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠1=∠2,
BE=BE,
∠BEF=∠BEC
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠1+∠ADB=90°,∠ACE+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠1=∠ACE
在△ABD和△ACF中
∠1=∠ACE,
AB=AC,
∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE