Question

1/3次根号下(x+1)²(x-1)四次方不定积分

Answer 1

设 (x-1)^(1/6)=t，则 x=1+t^6，dx=6t^5；可以得到：

∫[1-√(x-1)]/[1+(x-1)^(1/3)]dx

=∫[(1-t3)/(1+t2)]*(6t^5)dt

=6∫(1-t-t2+t3 +t^4 -t^6)+[(t-1)/(1+t2)] dt

=6t-3t2-2t3+(3t^4 /2)-(6t^7 /7)+6∫[(t-1)/(1+t2)]dt 

=6t-3t2-2t3+(3t^4 /2)-(6t^7 /7)+3ln(1+t2)-6arctant+C。

将 t 代回 (x-1)^(1/6) 即可得到： 

原式=6(x-1)^(1/6)-3(x-1)^(1/3)-2√(x-1) +(3/2)(x-1)^(2/3)-(6/7)(x-1)(x-1)^(1/6)+3ln[1+(x-1)^(1/3)]-6arctan[(x-1)^(1/6)]+C。

扩展资料：

换元积分法

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

一、第一类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

二、第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：

1、 根式代换法，

2、 三角代换法。

不定积分公式

1、∫kdx=kx+c 

2、∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c 　　

3、∫1/xdx=ln|x|+c 　　

4、 ∫a^xdx=(a^x)/lna+c 　　

5、∫e^xdx=e^x+c 　　

6、∫sinxdx=-cosx+c 　

7、∫cosxdx=sinx+c 　　

8、 ∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c 　　

9、 ∫tanx dx=-In|cosx|+c 　　

10、∫cotx dx=In|sinx|+c 　

Answer 2

设 (x-1)^(1/6)=t，则 x=1+t^6，dx=6t^5； ∫[1-√(x-1)]/[1+(x-1)^(1/3)]dx=∫[(1-t3)/(1+t2)]*(6t^5)dt=6∫(1-t-t2+t3 +t^4 -t^6)+[(t-1)/(1+t2)] dt =6t-3t2-2t3+(3t^4 /2)-(6t^7 /7)+6∫[(t-1)/(1+t2)]dt =6t-3t2-2t3+(3t^4 /2)-(6t^7 /7)+3ln(1+t2)-6arctant+C；将 t 重新换为 (x-1)^(1/6) 即可： =6(x-1)^(1/6)-3(x-1)^(1/3)-2√(x-1) +(3/2)(x-1)^(2/3)-(6/7)(x-1)(x-1)^(1/6)+3ln[1+(x-1)^(1/3)]-6arctan[(x-1)^(1/6)]+C；