Question

数学分析泰勒公式求解

Answer 1

f(x+h)-f(x)=hf'(x+h/2)
两侧对h求导得到
f'(x+h) = f'(x+h/2) +h/2f''(x+h/2) --(1)

两侧同时对x求导得到
f'(x+h)-f'(x) =hf''(x+h/2) --(2)
(1) * 2- (2)得到
2f'(x+h) -f'(x+h) +f'(x) =2f'(x+h/2)
f'(x+h)+f'(x) =2f'(x+h/2)
两侧对h求导得到
f''(x+h)=f''(x+h/2)
令t=x+h带入，则x=t-h
f''(t)=f''(t-h/2)
两边对h求导得到f'''(t-h/2)/2 =0, f'''(t-h/2)=0
所以f'''(x)=0, f''(x)=c1, f'(x)= c1x+c2, f(x)=c1x^2/2 +c2x +c3得证

Answer 2

试试用反证法，先假设f(x)的函数表达式不是二次多项式，然后通过泰勒公式或画图展开推出与题干存在连续三阶导数相悖的结论,从而最终证明

Answer 3

反证法。假设是二次以上（不包括二次）或者二次以下（不包括二次）。不晓得指数函数和对数函数要不要证伪。