Question

求解一道高中数学题排列组合？

两条无交点的线段，分别选取m个点和n个点，连接这些点后得到的直线共有多少交点，除这m+n个点外？要过程，附上必要的解释，请用排列组合解这道题，谢谢。

Answer 1

首先我觉得这个题目有一些问题，必须要说其中任意两条直线都不平行才可以做。
首先取m个点中的任意一点和n个点能连成n条直线，故一共有mn条直线。
不妨取点m1n1连成的直线，则不取m1,n1点的直线都与直线m1n1相交于非m+n的点上。
这样的直线有（mn-m-n+1）条，总共的交点有mn(mn-m-n+1)/2个（因为算交点时，两条直线的交点被这两条直线都算过，算了两遍，所以要除以2）
化简可得：交点数为：mn(m-1)(n-1)/2
(不知道算不算排列组合)

Answer 2

容易知道总共可作出mn条直线。则，当不考虑平行与交点重合。则易知交点数为mn(mn-1)/2.再考虑在m+n个点的交点：m线上有n(n-1)m/2个交点，n线上有m(m-1)n/2个交点。故，答案可能是mn(m-1)(n-1)/2

Answer 3

对于n个点的那条线段，
第1个点，去连另一条线段上的m个点，交点数为0(除去这m+n个点外，下同），
第2个点，去连另一条线段上的m个点，交点数为(m-1)+(m-2)+……+0,
第3个点，去连另一条线段上的m个点,交点数为2(m-1)+2(m-2)+……+0，
……
第n个点,去连另一条线段上的m个点,交点数为(n-1)(m-1)+(n-1)(m-2)+……+0,
总和为(1+2+……+n-1)〔(m-1)+(m-2)+……+0〕
=n(n-1)/2*(m-1)m/2
=mn(m-1)(n-1)/4

Answer 4

(m(m-1)/2)*(n(n-1)/2)*2=mn(m-1)(n-1)/2
这个问题就是在m个点中取两个点的组合与n个点中取两个点的组合乘积乘以2.
其中有(m(m-1)/2)*(n(n-1)/2)个点在两线段之间，有(m(m-1)/2)*(n(n-1)/2)个点在两线段之外。
例如：m=3,n=2
mn(m-1)(n-1)/2=6
m=5,n=3
mn(m-1)(n-1)/2=60
注意：m个点中任意两个点的距离不能与n个点中任意两个点的距离相等,也就
是说连接这些点后得到的直线中不能有任意两条直线平行。

Answer 5

每次从每条线段任选2个点，组成一个四边形，每个四边形一个交点，故一共Cn2乘Cn2=n^2(n-1)^2/4个四边形，就这么多个交点。