Question

已知双曲线中c=2a,F1 F2为左右焦点,P为双曲线上的点,∠F1PF2=60度,S△F1PF2=12根号3.求双曲线的标准方程

要详细的过程,

Answer 1

解：S△F1PF2=12√3 ∠F1PF2=60
1\2sin(∠F1PF2)|PF1|*|PF2|=12√3
√3\4|PF1|*|PF2|=12√3
|PF1|*|PF2|=48
|PF1|-|PF2|=2a=c
(|PF1|-|PF2|)²+2|PF1|*|PF2|-4c²=2sin60°*|PF1|*|PF2|
c²+96-4c²=48√3
3c²=96-48√3 c²=32-16√3 4a²=c²=32-16√3 a²=8-4√3
b²=c²-a²=32-16√3-(8-4√3)=24-12√3
∴双曲线的标准方程为x²/((8-4√3)+y²/(24-12√3)=1

Answer 2

设|PF1|=r1,|PF1|=r2,
1/2r1r2sin60度=12根号下3
|r1-r2 |=2a
r1^2+r2^2-2r1r2cos60度=(2c)^2
消r1,r2
r1r2=48, r1^2+r2^2-2r1r2=4a^2 r1^2+r2^2-r1r2=4c^2
后两个式子相减
得4c^2-4a^2=r1r2=48
即c^2-a^2=b^2
所以b=4
因为e=2.所以设c=2k,a=k
得k=4/√3 a=4/√3
所以双曲线的方程是:
3x^2/16-y^2/16=1
或3y^2/16-x^2/16=1