Question

函数展开成幂级数的方法和注意事项？

Answer 1

函数展开为幂级数问题：

1.先看看能不能直接套常用幂级数的公式，

2.看看能不能提取常数等恒等变型为了套用公式，

3.像本题，就可以先把2x放在一边，把剩下得函数变型一下，

4.剩下的函数，你稍微提取一个常数就可以套用常用的幂级数公式，

5.如果是一些反三角函数，这时，可能我们先求导，把它变为有理整式或分式，然后通过变型，套用所学公式，

6.求收敛区间问题，先看x是不是缺项，

7.比如本题，x的2n+1 比方，只有奇数比方，说明是缺项的，

8.对于缺项的幂级数，求收敛区间时，只能用我所写的方法，

9.如果是不缺项的，可以先求ρ，再求R。

Answer 2

泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 (0,1) 这个点入手。
把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：
首先得让其初始值相等，即： g(0)=f(0)
其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： g′(0)=f′(0)
再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： g″(0)=f″(0)
……
最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。
这时候，泰勒思考了两个问题：
第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 g(x)必须也能够无限次求导，那g(x)得是什么样类型的函数呢？
第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？
综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 g(x)为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式
能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导
也就是说，有一个原函数 f(x)，我再造一个图像与原函数图像相似的多项式函数 g(x) ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等。

Answer 3

因为当n为奇数时,通项变成了0,所以只要考虑n为偶数,那就把n换成2n就行了呀

追问

我说的是方法噢⊙_⊙