Question

f(x)=（x-1）(x-2)²（x-3）³(x-4)^4求拐点怎么做

Answer 1

根据拐点的定义，就是二次导数f``(x)=0的点， 并且，其二次导数在该点两边的值还要异号。
接下来就是冗繁的求导过程，但是只要加一点技巧，可以使过程变得简单，但是计算量肯定是不小的了。
首先，求一次导，直接求可能比较麻烦，这里直接两边取对数得：
lnf(x) = ln(x-1) +2ln(x-2) +3ln(x-3) + 4ln(x-4)
然后两边求导，得
f`(x)=(1/x-1 + 2/x-2 +3/x-3 + 4/x-4)f(x)
= (x-2)^2 (x-3)^3(x-4)^4 + 2(x-1)(x-2)(x-3)^3(x-4)^4....
这一步其实不是很麻烦啊，就是抄一遍而已，其实很快的，接下来二次求导才是关键
我们继续用求一次导的对数思维，对上面的4组连续相乘的x多项式进行逐个求导，这一步如果全部算出来是非常浪费时间的，实际上，求了一次导就可以发现一个规律，你会发现，x-1这种，算出来肯定有一组连续相乘是会把他消掉的，那么(x-2)^2这种，就会变成(x-2), 同理，（x-3）^3会变成(x-3)^2，也就是次方会减1，如果发现这个规律，我们直接用目测方式，看上面4组连续相乘的每个（x-i）(i=1,2,3,4)最少次方就可以快速提取公因式，得到
f``(x) = (x-3)(x-4)^2(这一坨很长，但是没用)
接下来就很简单了，3肯定是一个拐点，4虽然f``(4)=0，但是4两边的符号是一样的，所以不是，所以拐点就只有一个3.