Question

考研高数——微分方程，什么是一阶齐次线性微分方程？什么是齐次？什么是线性？

Answer 1

一阶微分方程的常见形式是y'=f(x,y)的样子。
1、如果右边的函数f(x,y)是零次齐次函数，则这种一阶方程称为一阶齐次型方程。
k次齐次函数指的是存在一个常数k，使得f(tx,ty)=t^k*f(x,y)，比如x+y是一次齐次函数，xy是二次齐次函数。如果k＝0，f(x,y)是零次齐次函数，即f(tx,ty)=f(x,y)，此时f(x,y)=f(x*1,x*y/x)=f(1,y/x)，可写成g(y/x)的结构。所以一阶齐次方程的常见形式是y'=g(y/x)的样子。
2、如果右边的函数f(x,y)是关于y的线性函数P(x)y+Q(x)，则称微分方程y'=P(x)y+Q(x)为一阶线性方程，与y完全无关的项Q(x)=0时为齐次线性方程，Q(x)≠0时为非齐次线性方程。两者的交叉就是P(x)=a/x，Q(x)=0，其中a为非零常数的时候。