Question

用数学归纳法证明:1/n+1+1/n+2+1/n+3+...+1/3n>9/10

Answer 1

你这个题不严密吧，要限定n>=2
当n=1,1/2+1/3=5/6<9/10,因此要对n做出限定。
下面用数学归纳法证明：
1）n=2,时，1/3+1/41/5+1/6=19/20>9/10
2）假设n=k时，1/k+1+1/k+2+1/k+3+...+1/3k-1>9/10-1/3k
那么当n=k+1时，
1/k+2+1/k+3+...+1/3k-1+1/3k+1/(3k+1)+1/(3k+2)>9/10+1/3k+1/(3k+1)+1/(3k+2)-1/k+1
那么只需要证明1/3k+1/(3k+1)+1/(3k+2)-1/k+1>-1/(3k+3)
即
1/3k+1/(3k+1)+1/(3k+2）>2/(3k+3)
上式显然成立，那么当n=k+1时，假设也成立
综合1），2）可知道不等式1/n+1+1/n+2+1/n+3+...+1/3n>9/10对于任意n>=2都成立。

Answer 2

注：从而n+1到3n，左边共有2n项．
（1）当n=2时，左=1/3
+1/4+1/5+1/6=57/60>54/60=9/10，成立．
（2）假设n=k时，有1/(k+1)
+1/(k+2)
+...+1/3k
>9/10
那么　1/(k+2)+1/(k+3)
+...+1/3(k+1)
=[1/(k+1)
+1/(k+2)+...+1/3k]
+1/(3k+1)
+1/(3k+2)+1/(3k+3)
-1/(k+1)
>9/10
+1/(3k+3)
+1/(3k+3)+1/(3k+3)
-1/(k+1)
=9/10
即n=k+1时命题也成立，
从而　原不等式对n∈N，且n>1成立．