Question

已知b+c/a=c+a/b=a+b/c 求abc/(a+b)(b+c)(c+a)的值

已知b+c/a=c+a/b=a+b/c 求abc/(a+b)(b+c)(c+a)的值

Answer 1

设 b+c/a=c+a/b=a+b/c=K
则b+c=aK¨¨¨¨¨(1)
c+a=bK¨¨¨¨¨(2)
a+b=cK¨¨¨¨¨(3)
(1)+(2)+(3)
（b+c）+（c+a）+（a+b）=K(a+b+c)
2（a+b+c)=K（a+b+c)
K（a+b+c)-2（a+b+c)=0
（K-2)（a+b+c）=0
解得 K=2 或a+b+c=0
当K=2时 ， abc/(a+b)(b+c)(c+a)=abc／（2c×2a×2b）=1／8
当a+b+c=0时，a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b
abc/(a+b)(b+c)(c+a)=abc/[(-c)×（-a)×(-b)]=-1
∴原式有两个解：1／8或 -1

Answer 2

若只是求解。不妨取特殊值，a=b=c=1。得答案为1/8
当然本题有三个未知数，三个等式。必然可以用一个未知数表示出另外两个，再代入求解既可。

Answer 3

1／8或 -1