Question

如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是CD,AB的中点,直线EF分别交BC,AD的延长线于点S,T,求证：∠ATF=∠BSF

Answer 1

证明：
过C点作CM//TA交FS于M，过B点作BP//TA，交SF延长线于P，过M点作MN//SB，交BP于N
则四边形BCMN为平行四边形
∴BC=MN，CM=BN
∵CM//TA
∴∠DTE=∠CME，∠TDE=∠MCE
又∵E是CD的中点，即DE=CE
∴△DTE≌△CME（AAS）
∴DT=CM=BN
∵BP//TA
∴∠ATF=∠P，∠A=∠FBP
又∵F是AB的中点，即AF=BF
∴△AFT≌△BFP（AAS）
∴AT=BP
∵AT-DT=BP-DT=BP-BN
即AD=PN
∵AD=BC=MN
∴PN=MN
∴∠P=∠NMP
∵MN//SB
∴∠NMP=∠BSF
∴∠ATF=∠BSF