Question

“初等函数在其定义区间内都是连续函数” 对不对

Answer 1

正确。

初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

实系数多项式称为整有理函数。其中最简单的是线性函数y=α0+α1x，它的图象是过y轴上y=α0点的斜率为α1的直线。二次整有理函数y=α0+α1x+α2x2的图象为抛物线。

两个整有理函数之比为分式有理函数。分式有理函数其中最简单的是反比例函数，其图象为双曲线。整有理函数和分式有理函数统称有理函数。有理函数起源于代数学。

Answer 2

“初等函数在其定义区间内都是连续函数”这句话正确。
“初等函数在其定义域内是连续函数”这句话不正确。
注意定义区间与定义域的区别，定义域如果是单点，就不能构成区间。
如函数y=arcsin(1+x^2)，该函数的定义域只有一个点x=0，不能构成区间，因此也就没有连续这个概念了。
关于初等函数的连续性，前提是定义域必须构成区间才行。