Question

大学 复变函数

在讨论对数函数 Ln（z）的连续性时
书上有句话“Ln(z)的各个分支和其主值函数ln(z)在除去原点和负实轴以外的复平面上处处连续。”
老师说它的各个分支都是一个个的小圆 ，不是很明白 请详细解答
附公式：
ln(z)=ln丨z丨+i*arg(z)
Ln(z)=ln(z)+i*2kπ (k=0 -1 +1 -2 +2……)
谢谢
请重点说明“Ln(z)的各个分支” 是什么 为什么是这样

很不解啊 谢谢了

Answer 1

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

定义
复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)。这个记号表示,ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv,那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y);所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，z2是复平面上的复变函数。但√z在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法(见解析开拓、黎曼曲面)。
对于z∈A,ƒ(z)的全体所成的数集称为A关于ƒ的像，记为ƒ(A)。函数ƒ规定了A与ƒ(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应;如果ƒ(A)∈A*，称ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*，则称ƒ把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射ƒ，如果z1与z2相异必导致ƒ(z1)与ƒ(z2)也相异，则称ƒ是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为ƒ的反函数，记为
z=ƒ-1(w)
设ƒ(z)是A上的复变函数,α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时,|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，则称ƒ(z)在α处是连续的。如果在A上处处连续,则称为A上的连续函数或连续映射。设ƒ是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ,当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。这个性质称为ƒ(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。
设ƒ(z)是平面开集D内的复变函数。对于z∈D,如果极限
存在且有限,则称ƒ(z)在z处是可导的，此极限值称为ƒ(z)在z处的导数,记为ƒ┡(z)。这是实变函数导数概念的推广，但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。这是因为z+h是z的二维邻域内的任意一点，极限的存在条件比起一维的实数情形要强得多。一个复变函数如在z的某一邻域内处处有导数，则该函数必在z处有高阶导数,而且可以展成一个收敛的幂级数(见解析函数)。所以复变函数导数的存在，对函数本身的结构有重大影响，而这些结果的研究，构成了一门学科──复变函数论。

Answer 2

设w是一个复数，w=u+iv
e^w=re^(it)
=e^(u+iv)=(e^u)*(e^iv)=re^(it)
所以 e^u=r, e^iv=cosv+isinv=e^it
cosv+isinv=cost+isint
v=t+2kπ (k=0,±1,±2,±3 ……)
其中k=0是主值。

分支是一个个圆？ 好像没有这个讲法。

Ln（z）可以把复平面上的一个圆映射成一条垂直于实轴，通过实轴上ln|z|这一点的直线。

Ln(z)的各个分支和其主值函数ln(z)在除去原点和负实轴以外的复平面上处处连续
上面这句话好理解
ln(z)=ln丨z丨+i*arg(z) ，其中的ln|z|在零点处没有定义，故不连续。

对于arg(z)=arctg(y/x),当x<0,可以发现当arctg(y/x)趋近于0+,它为π，当arctg(y/x)趋近于0-，它为-π，根据连续的定义，左右极限不相等的不连续。

当x>0,arctg(y/x)趋近于0+,它为+0，当arctg(y/x)趋近于0-，它为-0, 左右极限相等，所以连续。

关于分支的问题。
看到前面的推导没有。
e^iv=cosv+isinv， cos和sin都是有周期性的，它们的周期都是2π。 所谓主值就是说在[0,2π)范围内的取值【注意区间的开闭！】。所谓分支就是一个复数的幅角【在[0,2π)范围内】加上2kπ，k为不为零的整数，±1，±2，±3等等。
举个例子： 求Ln(1+i)
ln(1+i)=ln|1+i|+iarg(1+i)
=（ln√2）+i*π/4 这个就是主值。
Ln（1+i）=ln√2）+i*π/4+2kπ k=±1，±2，±3…。这些就是分支。

cos(π/4+2kπ)+isin(π/4+2kπ)=cos(π/4)+isin(π/4)

Answer 3

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
定义
复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)。这个记号表示,ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv,那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y);所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，z2是复平面上的复变函数。但√z在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法(见解析开拓、黎曼曲面)。
对于z∈A,ƒ(z)的全体所成的数集称为A关于ƒ的像，记为ƒ(A)。函数ƒ规定了A与ƒ(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应;如果ƒ(A)∈A*，称ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*，则称ƒ把A映成A*，此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射ƒ，如果z1与z2相异必导致ƒ(z1)与ƒ(z2)也相异，则称ƒ是一对一的。在一对一的映射下，对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为ƒ的反函数，记为
z=ƒ-1(w)
设ƒ(z)是A上的复变函数,α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时,|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，则称ƒ(z)在α处是连续的。如果在A上处处连续,则称为A上的连续函数或连续映射。设ƒ是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ,当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。这个性质称为ƒ(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。
设ƒ(z)是平面开集D内的复变函数。对于z∈D,如果极限
存在且有限,则称ƒ(z)在z处是可导的，此极限值称为ƒ(z)在z处的导数,记为ƒ┡(z)。这是实变函数导数概念的推广，但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。这是因为z+h是z的二维邻域内的任意一点，极限的存在条件比起一维的实数情形要强得多。一个复变函数如在z的某一邻域内处处有导数，则该函数必在z处有高阶导数,而且可以展成一个收敛的幂级数(见解析函数)。所以复变函数导数的存在，对函数本身的结构有重大影响，而这些结果的研究，构成了一门学科──复变函数论。

Answer 4

黎曼面，如图