Question

如何证明：向量组中任意两个向量线性无关是向量组线性无关的充分条件

Answer 1

例子如下：
证明：必要性
对任意一个n维向量x，a1，a2，a3，an，x线性相关
(个数大于维数)
因为
a1，a2，a3，an
线性无关
所以
x
可由
a1，a2，a3，an
线性表示
充分性：由已知，n维基本向量组
ε1，ε2，εn
可由
a1，a2，a3，an
线性表示
而由于
a1，a2，a3，an
可由
ε1，ε2，εn
线性表示
故两个向量组等价，故有相同的秩
即有
r(a1，a2，a3，an)
=
r(ε1，ε2，εn)
=n
所以
a1，a2，a3，an
线性无关
扩展资料
共线公式的推论：
1、两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得
λa+μb=0。
2、两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得
λa+μb=0。
3、如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得
λa+μb=0，那么λ=μ=0。
4、如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。
5、如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。

Answer 2

例子如下：
证明：必要性
对任意一个n维向量x，a1，a2，a3，an，x线性相关
(个数大于维数)
因为
a1，a2，a3，an
线性无关
所以
x
可由
a1，a2，a3，an
线性表示
充分性：由已知，n维基本向量组
ε1，ε2，εn
可由
a1，a2，a3，an
线性表示
而由于
a1，a2，a3，an
可由
ε1，ε2，εn
线性表示
故两个向量组等价，故有相同的秩
即有
r(a1，a2，a3，an)
=
r(ε1，ε2，εn)
=n
所以
a1，a2，a3，an
线性无关
扩展资料：
一、线性代数其他数学分支：
1、模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。
2、多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。
3、在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。
二、重要定理
1、对一个
n
行
n
列的非零矩阵
A，如果存在一个矩阵
B
使
AB
=
BA
=E（E是单位矩阵），则
A
为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。
2、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。
3、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

Answer 3

你这个结论不正确，无法证明。例如向量组(1,0),(0,1),(1,1)中任意两个向量线性无关，但整个向量组是线性相关的。

Answer 4

简单分析一下，详情如图所示