Question

已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限

已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限,什么时候OC最大

Answer 1

设A、B分别为（x,0),(0,y)
则有：OA=x ； OB=y ； x^2+y^2=a^2
由图象可知：sinOAB=y/a
cosOAB=x/a
OAC=OAB+60
由余弦定理可知：OC^2=OA^2+AC^2-2OA*AC*cosOAC
则有：OC^2=x^2+a^2-2axcos(OAB+60)
=x^2+a^2-2ax(cosOABcos60-sinOABsin60)
=x^2+a^2-2ax(1/2cosOAB-根号3/2sinOAB)
=x^2+a^2-2ax(x/2a-根号3y/2a)
=x^2+a^2-x^2+根号3xy
=a^2+根号3xy
a为定值，a^2为定值,所以当xy最大时，OC^2取得最大值，即OC取得最大值
又 x^2+y^2=a^2，由均值不等式可知：x^2+y^2>=2xy，当且仅当x=y时取等号
所以：xy<=a^2/2 OC^2<=a^2+根号3a^2/2=（1+根号3/2）a^2
故OC最大为：（根号3+1）a/2

Answer 2

【分析】取AB的中点D，连结CD、OD，则CD= a，OD= ，求OC的长的最大值，就是求OC≤CD＋OD＝ a，OC的长的最大值 a．

Answer 3

取AB的中点D，连结CD、OD，OC≤CD＋OD，而cd和OD可求，易得OC最大为二分之（1+根3）a.

Answer 4

角OAB等于45度时OC最大。

Answer 5

当OA=OB时最大

Answer 6

取AB的中点D,连CD,OD,OC,
在等边三角形ABC中，CD是高，CD=√3a/2是定值
在直角三角形OAB中，OD是斜边的中线，OD=AB/2=a/2也是定值
因为△OCD中，OD+CD<OC,
所以只有当OD和CD在一条直线上时，OD+CD=OC,此时OC最长，
即当OA=OB时，最大值为（√3+1）a/2