Question

用定积分怎么证明这道题

Answer 1

首先你要知道对任意的连续函数g(t)，∫(0,x)
g(t)dt的导数为g(x)-g(0)，其中∫(0,x)
g(t)dt代表从0到x关于g(t)积分。
第一项积分关于t，所以x可以拿出，即x∫(0,x)
f(t)dt，然后你把后面的∫(0,x)
f(t)dt当成一关于x的函数h(x)，这样第一项积分的导数为x*h'+x'*h=x*h'+h，而h'一开始就说了导数为f(x)-f(0)，所以第一项导数为∫(0,x)
f(t)dt
+
xf(x)。
第二项和第一项类似但这里积分里面的函数是tf(t)，所以导数为-xf(x)。两项相加即为所证。