Question

积分不等式证明

Answer 1

证明：由f''(x)≥0→f'(x)单调递增

由f'(x)=∫(上限x，下限0)
f''(x)dx，f''(x)≥0，0＜x＜1→f'(x)＞0→f(x)单调递增

由f(0)=0，f(x)单调递增→f(x)＞0

由f(x)-f(0)=f'(ξ)(x
-
0)，0＜ξ＜x，f(0)=0，f'(ξ)＜f'(x)→f(x)＞Cx，其中C为常数，且C＞0

由∫(上限1，下限0)
(x
-

2/3)f(x)dx＞∫(上限1，下限0)
(x
-
2/3)Cxdx=0

故：∫(上限1，下限0)
xf(x)dx＞2/3∫(上限1，下限0)
f(x)dx。